Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Ta có $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$.
Suy ra: $NP\parallel BC,\ PN=\dfrac12BC$.
Lại có: $AF\parallel BC$ và $BF\parallel AM$.
Do đó: $AF\parallel NP$.
Mặt khác trong tam giác $ABF$, $P$ là trung điểm của $AB$ và $PN\parallel AF$ nên $N$ là trung điểm của $PF$.
Suy ra: $PN=NF$.
Vậy trong tứ giác $AFPN$:
$AF\parallel PN$ và $AF=PN$.
Do đó: $\boxed{AFPN \text{ là hình bình hành}}$.
Vì $AFPN$ là hình bình hành nên: $FN\parallel AP$.
Mà $A,P,B$ thẳng hàng nên: $FN\parallel CB$.
Lại có: $CN\parallel FP$ (vì $CN\subset AC$ và trong hình bình hành $AFPN$ thì $FP\parallel AN\subset AC$).
Do đó: $CN\parallel FP,\quad NF\parallel CP$.
Suy ra: CNFP là hình bình hành.
Ta có $NJ\parallel AM$ (gt) và $BF\parallel AM$ nên: $NJ\parallel BI$.
Mặt khác, $I$ là giao điểm của $NP$ và $BF$.
Vì $NP\parallel BC$ nên: $NI\parallel BJ$.
Do đó: $NJ\parallel BI,\quad NI\parallel BJ$.
Suy ra NIBJ là hình bình hành.
2.
a) Ta có:
$AI\parallel BG$ (cách dựng), $BI\parallel AK$.
Mà $G\in AK$ nên: $AG\parallel BI$.
Suy ra tứ giác $AGBI$ có:
$AI\parallel BG$ và $AG\parallel BI$.
Do đó: $AGBI$ là hình bình hành.
Suy ra: $\boxed{BG=AI}$.
b) Vì $HE$ là đường trung trực của $AC$ nên $E$ là trung điểm của $AC$.
Xét tam giác $ACK$ vuông tại $K$, $E$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ nên:
$HE=AE=\dfrac{AC}{2}$.
Trong tam giác vuông $ABC$:
$\widehat{BGA}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với góc $C$),
$\widehat{BAG}=\widehat{AKC}=90^\circ$.
Suy ra: $\triangle BGA\sim\triangle ACK$.
Do đó: $\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BA}{AK}$.
Mà trong tam giác vuông $ABK$:
$AK=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}$.
Suy ra: $BG=AC$.
Vậy: $\boxed{BG=2HE}$.
c) Tương tự, vì $HF$ là đường trung trực của $BC$ nên $F$ là trung điểm của $BC$.
Trong tam giác vuông $BDC$, $F$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên:
$HF=BF=\dfrac{BC}{2}$.
Lại có: $\triangle AGB\sim\triangle DCB$.
Suy ra: $\dfrac{AG}{BC}=1$.
Hay: $AG=BC$.
Do đó: $\boxed{AG=2HF}$.