+) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}15 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {2\pi  - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {4\pi  - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

+) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}9 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \pi \\ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = \pi  + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = \frac{{6\left( {k2\pi  + \pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array}\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {k2\pi  + \pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 1\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = \frac{{6\left( {3\pi  - 1} \right)}}{\pi }\)

+) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5.

Khi đó

 \(\begin{array}{l}10,5 = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\\t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 \le k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( {\frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{8\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{14\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

Với \(t = \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi };k \in Z\)

Vì \(0 \le t < 24\) nên

 \(\begin{array}{l}0 \le \frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  - 1} \right)}}{\pi } \le 24\\ \Leftrightarrow 0 < k \le 2\end{array}\)

Lại do \(k \in Z \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{{6\left( { - \frac{{2\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{4\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi };\frac{{6\left( {\frac{{10\pi }}{3} - 1} \right)}}{\pi }} \right\}\)

Lời giải:

$\sin (\frac{\pi t}{18}-\frac{\pi}{6})\leq 1$ với mọi $t\in [0;24]$

$\Rightarrow h\leq 2.1+5=7$ 

Vậy $h_{\max}=7\Leftrightarrow \sin (\frac{\pi t}{18}-\frac{\pi}{6})=1$

$\Leftrightarrow \frac{\pi t}{18}-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ với $k$ nguyên 

$\Leftrightarrow \frac{t}{18}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+2k$ với $k$ nguyên 

$\Leftrightarrow t=12+36k$ với $k$ nguyên.

Do $t\in [0;24]$ nên $t=12$ 

Đáp án C.

Đặt h=11

=>\(cos\left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=11\)

=>\(cos\left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-1\)

=>\(\frac{\pi t}{6}+1=\pi+k2\pi\)

=>\(\frac{\pi t}{6}=\pi+k2\pi-1\)

=>\(\frac{t}{6}=1+2k-\frac{1}{\pi}\)

=>t=6+12k-6/pi

=>t≃4,09+12k

mà 0<t<24

nên t≃4,09 hoặc t≃16,09

a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: \(h\left( 2 \right) = 0,8cos0,5.2 + 4 \approx 4,43{\rm{ }}m.\)

Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.

b) Các thời điểm để mực nước sâu là 3,6m tương ứng với phương trình \(0,8cos0,5t + 4 = 3,6\).

Ta có: \(0,8cos0,5t + 4 = 3,6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow cos0,5t =  - \frac{1}{2} = cos\frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow 0,5t =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t =  \pm \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Với \(t = \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \), trong 12 tiếng ta có các thời điểm \(0 \le \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi  \le 12 \Leftrightarrow  - 0,3 \le k \le 0,62 \Rightarrow k = 0. \Rightarrow t = \frac{{4\pi }}{3}\)

Với \(t =  - \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi \), trong 12 tiếng ta có các thời điểm \(0 \le  - \frac{{4\pi }}{3} + k4\pi  \le 12 \Leftrightarrow 0,3 \le k \le 1,28 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t =  - \frac{{4\pi }}{3} + 4\pi  = \frac{{8\pi }}{3}\)

Vậy tại các thời điểm \(t = \frac{{4\pi }}{3}\), \(t = \frac{{8\pi }}{3}\) giờ thì tàu có thể hạ thủy.

Chọn B

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất

Ta có: 

\(T'\left(t\right)=-0,1\cdot2t+1,2=-0,2t+1,2\)

Tốc độ thay đổi của nhiệt độ ở thời điểm t = 1,5s là:

\(T'\left(1,5\right)=-0,2\cdot1,5+1,2=0,9\)

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=12

Khi đó

\(\begin{array}{l}12 = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = \sin 0\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \\ \Leftrightarrow t = 80 + 182k;k \in Z\end{array}\)

Mà \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) nên

 \(\begin{array}{l}0 < 80 + 182k \le 365\\ \Rightarrow 0 \le k \le 1,56\end{array}\)

Suy ra \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Khi đó \(t \in \left\{ {80;262} \right\}\)

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và 262 trong năm

b) Thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=9

Khi đó

\(\begin{array}{l}9 = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] =  - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t =  - 11 + 364k;k \in Z\end{array}\)

Mà \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) nên

 \(\begin{array}{l}0 <  - 11 + 364k \le 365\\ \Rightarrow 0 < k \le 1,03\end{array}\)

Suy ra \(k= 1\)

Khi đó \(t= - 11 + 364.1 = 353\)

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm

c) Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì d(t)=15

Khi đó

\(\begin{array}{l}15 = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 171 + 364k;k \in Z\end{array}\)

Mà \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\) nên

 \(\begin{array}{l}0 < 171 + 364k \le 365\\ \Rightarrow 0 \le k \le 0,53\end{array}\)

Suy ra \(k=0\)

Khi đó \(t= 171 + 364.0 = 171\)

Vậy Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm

Ta có:

\(\begin{array}{l}P'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {500t} \right)}^\prime }\left( {{t^2} + 9} \right) - \left( {500t} \right){{\left( {{t^2} + 9} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\\ = \frac{{500\left( {{t^2} + 9} \right) - \left( {500t} \right).2t}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\\ = \frac{{500{t^2} + 4500 - 1000{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = \frac{{4500 - 500{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}}\end{array}\)

Tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 12\) là: \(P'\left( {12} \right) = \frac{{4500 - 500{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} \approx  - 2,88\).