a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}JC \bot AE\\BH \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow JC//BH\). Vì \(JC//BH \Rightarrow \widehat {HBA} = \widehat {JCA}\) (hai góc đồng vị)

hay \(\widehat {HBA} = \widehat {DCB}\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {HBA} = \widehat {DCB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AHB} = \widehat {DBC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta ABH\backsim\Delta DCB\) (g.g)

b) Vì  (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CDB}\).

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {CDB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta AEB\backsim\Delta DCB\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BA}}{{BD}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Hay \(\frac{{BC}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\) (điều phải chứng minh).

a) Vì tam giác \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) nên \(\widehat B = \widehat N\) (hai góc tương ứng).

Vì \(MK\) là đường cao nên \(\widehat {MKN} = 90^\circ \);Vì \(AH\) là đường cao nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta MNK\) và \(\Delta ABH\) có:

\(\widehat B = \widehat N\) (chứng minh trên)

\(\widehat {MKN} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\) (g.g)

Vì \(\Delta MNK\backsim\Delta ABH\) nên ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NK}}{{BH}} = \frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow \frac{{MK}}{{AH}} = k\).

b) Vì \(\Delta MNP\backsim\Delta ABC\) nên \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{MP}}{{AC}} = k\)

\( \Rightarrow \frac{{NP}}{{BC}} = k \Leftrightarrow NP = kBC\)

Vì \(\frac{{MK}}{{AH}} = k \Rightarrow MK = kAH\)

 Diện tích tam giác \(MNP\) là:

\({S_1} = \frac{1}{2}.MK.NP\) (đvdt)

 Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_2} = \frac{1}{2}.AH.BC\) (đvdt)

Ta có: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{1}{2}.MK.NP}}{{\frac{1}{2}.AH.BC}} = \frac{{kAH.kBC}}{{AH.BC}} = {k^2}\) (điều phải chứng minh)

- Có EF // BC =>  \(\widehat {{\rm{AEF}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) (2 góc đồng vị) (1)

- Có EF // BD (vì EF // BC) 

      DE // FB (vì MN // BC)

=> EFBD là hình bình hành

=> \(\widehat {EFB} = \widehat {E{\rm{D}}B}\)

mà \(\widehat {EFB} + \widehat {{\rm{AEF}}} = {180^o}\)

     \(\widehat {E{\rm{D}}B} + \widehat {E{\rm{D}}C} = {180^o}\)

=> \(\widehat {AF{\rm{E}}} = \widehat {E{\rm{D}}C}\) (2)

Từ (1) và (2) => ΔAEF ∽ ΔECD (g.g)

Có \(\frac{{AF}}{{E{\rm{D}}}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

=> Đồng dạng với tỉ số \(\frac{1}{2}\)

a)  Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta HDF\) có:

\(\widehat F\) chung

\(\widehat {EDF} = \widehat {DHF} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta HDF\) (g.g)

b) Vì \(\Delta DEF\backsim\Delta HDF\) nên \(\frac{{DF}}{{HF}} = \frac{{FE}}{{DF}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

\( \Rightarrow D{F^2} = FH.FE\).

c) Theo câu b ta có:

\(D{F^2} = FH.FE\)

Thay số, \(D{F^2} = 5,4.15 = 81 \Rightarrow DF = \sqrt {81}  = 9cm\)

Vậy \(DF = 9cm\).

a) Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACB\) có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) (giả thuyết)

\(\widehat A\) chung

Suy ra, \(\Delta ABD\backsim\Delta ACB\) (g.g)

b) Vì \(\Delta ABD\backsim\Delta ACB\)

Suy ra, \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).

Suy ra, \(A{B^2} = AC.AD = 9.4 = 36 \Rightarrow AB = \sqrt {36}  = 6\)

Vậy \(AB = 6cm.\)

Tỉ số:

\(\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\).

Xét tam giác\(DEF\) và tam giác\(ABC\) có:

\(\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{EF}}{{BC}} = \frac{3}{4}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta ABC\).

Tỉ số:

\(\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{6}{3} = 2;\frac{{EF}}{{NP}} = \frac{{15}}{6} = \frac{5}{2}\).

Vì \(\frac{{DE}}{{MN}} \ne \frac{{EF}}{{NP}}\) nên hai tam giác \(DEF\) và \(MNP\) không đồng dạng với nhau.

Tỉ số:

\(\frac{{DE}}{{RS}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};\frac{{EF}}{{ST}} = \frac{{15}}{{12}} = \frac{5}{4}\).

Vì \(\frac{{DE}}{{RS}} \ne \frac{{EF}}{{ST}}\) nên hai tam giác \(DEF\) và \(SRT\) không đồng dạng với nhau.

- Xét tam giác ABC có, NA=NB, MA=MC

=> NM là đường trung bình của tam giác ABC

=> NM // BC, \(NM = \frac{1}{2}AB\)

- Xét tam giác GMN và tam giác GBC có NM // BC => ΔGMN ∽ ΔGBC 

Ta có AD = BD và D ∈ AB nên D là trung điểm của AB;

AE = EC và E ∈ AC nên E là trung điểm của AC.

Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, theo định lí Thalès đảo, ta suy ra DE // BC (đpcm).

a) Ta có: \(\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{4}{2} = 2;\,\,\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{6}{3} = 2\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BC}}\)

Xét tam giác ABD và tam giác EBC có:

\(\frac{{AB}}{{EB}} = \frac{{BD}}{{BC}}\) và \(\widehat {ABD} = \widehat {EBC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta EBC\) (c-g-c).

b) Vì \(\Delta ABD \backsim \Delta EBC\) nên \(\widehat {DAB} = \widehat {CEB}\)

Mà \(\widehat {DEG} = \widehat {CEB}\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\widehat {DAB} = \widehat {DEG}\).

c) Vì \(\Delta ABD \backsim \Delta EBC\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ECB}\) hay \(\widehat {GDE} = \widehat {ECB}\)

Vì tam giác EBC vuông tại B nên ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ECB} + \widehat {CEB} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {GDE} + \widehat {DEG} = 90^\circ \end{array}\)

Mà trong tam giác DEG có:

\(\begin{array}{l}\widehat {GDE} + \widehat {DEG} + \widehat {DGE} = 180^\circ \\ \Rightarrow 90^\circ  + \widehat {DGE} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {DGE} = 90^\circ \end{array}\)

\( \Rightarrow \)Tam giác DGE vuông tại G.