\(a=\dfrac{1}{9}.\left(999...9\right)=\dfrac{1}{9}.\left(100...0-1\right)=\dfrac{1}{9}\left(10^n-1\right)\)

\(b=100...0+5=10^n+5\)

\(\Rightarrow ab+1=\dfrac{1}{9}\left(10^n-1\right)\left(10^n+5\right)+1=\dfrac{1}{9}\left(10^{2n}+4.10^n+4\right)=\dfrac{1}{9}\left(10^n+2\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\)

Ta có: \(10\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow10^n\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow10^n+2⋮3\)

\(\Rightarrow\dfrac{10^n+2}{3}\in Z\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\) là SCP hay \(ab+1\) là SCP

Dưới đây là cách thực hiện từng yêu cầu chỉ với eke, compa hoặc thước kẻ và compa, theo đúng tinh thần hình học cơ bản.

🧭 b) Chỉ dùng eke có thể vẽ được một hình bình hành không?

Có thể.
Cách làm:

• Vẽ một đoạn thẳng AB.
• Dùng eke vẽ một đường thẳng song song với AB, gọi là CD.
• Vẽ hai đoạn thẳng AD và BC sao cho chúng song song với nhau (dùng eke để kiểm tra song song).
• Nối các điểm A, B, C, D để được hình bình hành.

📐 c) Chỉ dùng eke có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc với nhau không?

Có thể.
Cách làm:

• Vẽ một đường thẳng bất kỳ.
• Đặt cạnh vuông của eke trùng với đường thẳng vừa vẽ.
• Vẽ đường thẳng theo cạnh còn lại của eke, ta được hai đường vuông góc.

🧱 d) Chỉ dùng eke có thể vẽ được một hình chữ nhật không?

Có thể.
Cách làm:

• Vẽ một đoạn thẳng AB.
• Dùng eke vẽ đường vuông góc tại A và B, gọi là AD và BC.
• Dùng eke kiểm tra và vẽ đường thẳng song song với AB đi qua điểm D và C.
• Nối các điểm A, B, C, D để được hình chữ nhật.

🧭 e) Chỉ bằng compa có thể kiểm tra một tứ giác có là hình bình hành không?

Có thể.
Cách làm:

• Dùng compa đo độ dài hai cặp cạnh đối.
• Nếu hai cặp cạnh đối bằng nhau, tứ giác có thể là hình bình hành.
• Ngoài ra, kiểm tra hai đường chéo có cắt nhau tại trung điểm cũng là cách xác định hình bình hành.

🧮 f) Chỉ bằng compa có thể kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật không?

Có thể.
Cách làm:

• Dùng compa đo hai đường chéo.
• Nếu hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm, tứ giác có thể là hình chữ nhật.
• Kết hợp kiểm tra các cạnh đối bằng nhau như ở câu e.

📏 g) Chỉ bằng thước kẻ và compa làm cách nào để biết một tam giác có phải là tam giác vuông?

Cách làm:

• Dùng thước kẻ đo độ dài các cạnh tam giác.
• Áp dụng định lý Pythagore: nếu bình phương cạnh lớn bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại, thì tam giác vuông.
• Dùng compa để kiểm tra các đoạn bằng nhau và dựng hình phụ nếu cần.

🧭 b) Chỉ dùng eke có thể vẽ được một hình bình hành không?

✅ Có thể.

Cách làm:

1. Vẽ đoạn thẳng AB.
2. Dùng eke vẽ một đường thẳng song song với AB, gọi là CD.
3. Vẽ hai đoạn thẳng AD và BC sao cho chúng song song với nhau.
4. Nối các điểm A, B, C, D → được hình bình hành.

📐 c) Chỉ dùng eke có thể vẽ được hai đường thẳng vuông góc không?

✅ Có thể.

Cách làm:

1. Vẽ một đường thẳng bất kỳ.
2. Đặt cạnh vuông của eke trùng với đường vừa vẽ.
3. Vẽ đường thẳng theo cạnh còn lại của eke → hai đường vuông góc.

🧱 d) Chỉ dùng eke có thể vẽ được một hình chữ nhật không?

✅ Có thể.

Cách làm:

1. Vẽ đoạn thẳng AB.
2. Dùng eke vẽ các đường vuông góc tại A và B, gọi là AD và BC.
3. Dùng eke vẽ đường thẳng song song với AB qua D và C.
4. Nối các điểm A, B, C, D → được hình chữ nhật.

🧭 e) Chỉ bằng compa có thể kiểm tra một tứ giác có là hình bình hành không?

✅ Có thể.

Cách làm:

1. Dùng compa đo độ dài hai cặp cạnh đối.
2. Nếu hai cặp cạnh đối bằng nhau → có thể là hình bình hành.
3. Kiểm tra thêm: nếu hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm → chắc chắn là hình bình hành.

🧮 f) Chỉ bằng compa có thể kiểm tra một tứ giác có là hình chữ nhật không?

✅ Có thể.

Cách làm:

1. Dùng compa đo hai đường chéo.
2. Nếu hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm → có thể là hình chữ nhật.
3. Kiểm tra thêm các cạnh đối bằng nhau như ở câu e.

📏 g) Chỉ bằng thước kẻ và compa làm cách nào để biết một tam giác có phải là tam giác vuông?

✅ Có thể.

Cách làm:

1. Dùng thước kẻ đo độ dài ba cạnh tam giác.
2. Áp dụng định lý Pythagore: nếu a^2 + b^2 = c^2 → tam giác vuông.
3. Dùng compa để kiểm tra các đoạn bằng nhau hoặc dựng hình phụ để xác minh góc vuông.

Ta có:

$\frac{AB}{A{B}^{\prime }}$ = $\frac{BC}{B{C}^{\prime }}$ mà AB' = x + h nên

$\frac{x}{x+h}$ = $\frac{a}{a^{\prime }}$ <=> a'x = ax + ah

<=> a'x - ax = ah

<=> x(a' - a) = ah

x= $\frac{ah}{a^{\prime }-a}$

Vậy khoảng cách AB bằng $\frac{ah}{a^{\prime }-a}$