Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H.

1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.

2. Chứng minh CD = MB và DM = CB.

3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H.

1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.

2. Chứng minh CD = MB và DM = CB.

3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R.

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI ⊥ AB, MK ⊥ AC (I ∈ AB, K ∈ AC)

a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ MP ⊥ BC (P ∈ BC). Chứng minh: .

c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).

a)      Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b)      Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi.

c)      Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi. 

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Điểm C di động trên nửa đường tròn (C khác A, B), gọi M là điểm chính giữa cung AC, BM cắt AC tại H và cắt tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O) tại K, AM cắt BC tại D. a) Chứng minh tứ giác DMHC nội tiếp và HM. HB = HA.HC b) Chứng minh ABD  cân đỉnh B c) Chứng minh  KD là tiếp tuyến của (B; BA). d) Tứ giác AKDH là hình gì? Vì sao? e) Đường tròn ngoại tiếp BHD  cắt đường tròn (B; BA) tại N. Chứng minh A, C, N thẳng hàng.  

bài 1 :Cho điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AB (M khác A và B). Lấy điểm I nằm giữa M và B, kẻ IH vuông góc với AB tại H. Đoạn thẳng AI cắt đoạn thẳng MH tại K. Chứng minh rằng 
bài 2 : Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là hai tiếp điểm). Gọi M là giao điểm của OA và BC, D là một điểm nằm trên đường tròn (O) sao cho D không nằm trên đường thẳng OA, kẻ dây cung DE đi qua M. Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp.