giải

Chọn mốc thế năng tại mặt đắt, trục 0z hướng lên
Công của vật lúc bắt đầu rơi là :

W=Wt+Wđ=Wt=m.g.z

Vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực , nên cơ năng không đổi
Khi:

\(Wđ1=\)\(2\)\(Wt1\)

\(W1=\)\(Wt1+\)\(Wđ1\)

\(\Leftrightarrow m.g.z=3\)\(Wt1\)

\(\Leftrightarrow m.g.z=3.m.g.z_1\)

\(\Leftrightarrow z=3z_1\Rightarrow z_1=40\left(m\right)\)

Cơ năng của vật tại vị trí ban đầu là : 

\(W=W_đ+W_t=W_t\)

Cơ năng của vật tại vị trí động năng lớn gấp đôi thế năng : 

\(W_A=W_{đA}+W_{tA}=3W_{tA}\)

\(\text{Định luật bảo toàn cơ năng : }\)

\(W=W_A\)

\(\Leftrightarrow W_t=3W_{tA}\)

\(\Leftrightarrow m\cdot g\cdot h=3\cdot m\cdot g\cdot h_A\)

\(\Leftrightarrow h_A=\dfrac{h}{3}=\dfrac{120}{3}=40\left(m\right)\)

a) Ta có: \(v^2=2gh=2\cdot10\cdot45=900\) \(\Rightarrow v=30\left(m/s\right)\)

b) Ta có: \(W_đ=W_t\)

\(\Rightarrow mgh=\dfrac{1}{2}mv^2\), mà \(m\ne0\)

\(\Rightarrow gh=\dfrac{1}{2}v^2\) \(\Rightarrow10h=\dfrac{1}{2}\cdot30^2\) \(\Rightarrow h=45\left(m\right)\) 

a. Ta có: \(W=W_t+W_d=mgh_0+\dfrac{1}{2}mv^2\)

Theo đề bài: \(W_t=W_d\)

\(\Rightarrow W_t=\dfrac{W}{2}=\dfrac{mgh_0+\dfrac{1}{2}mv^2}{2}\)

\(\Rightarrow mgh=\dfrac{mgh_0+\dfrac{1}{2}mv^2}{2}\)

\(\Rightarrow h=\dfrac{h_0}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{v^2}{g}=\dfrac{20}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{30^2}{10}=32,5m\)

b. Chọn thế năng ở mặt đất.

Độ cao cực đại:

\(mgz_{max}=mgz+\dfrac{1}{2}mv^2\Rightarrow z_{max}=z+\dfrac{v^2}{2g}=20+\dfrac{30^2}{2\cdot10}=65m\)