- Gọi số đã cho là A . Ta có
A = 4a + 3                     (a,b,c \(\in\)N)
   = 17b + 9
   = 19c + 3
Mặc khác : A + 25 = 4a + 3 + 25 = 4a + 28 = 4 (a + 7)
                            = 17b + 9 + 25 = 17b + 34 = 17 (b + 2)
                            = 19c + 13 + 25 = 19c + 38 = 19 (c + 2)
Như vậy A + 25 đồng thời chia hết cho 4,17,19
Mà 4,17,19 = 1 \(\Rightarrow\) A + 25 chia hết cho 1292
\(\Rightarrow A+25=1292k\left(k=1,2,3,...\right)\)
\(\Rightarrow A=1292k-25=1292k-1292+1267=1292\left(k-1\right)+1267\)
Do 1267 < 1292 nên 1267 là số dư trong phép chia số dã cho A cho 1292

Theo bài ra , ta có : 

x : 12 = y + 5 

=) x = (y + 5 ) x 12 

=) x = 12y + 60 

Lại có : 

x : 4 

=) (12y + 60 ) : 4 

= 3y + 15 dư 0 

Vậy x :  4 đk 0

x có dạng x=12a+5=4(3a+1)+1 do đó chia cho 4 sẽ dư 1

Gọi số cần tìm là a thì a+3 chia hết cho 7 và a+3 chia hết cho 9 nên a+3 chia hết cho 63 suy ra a chia cho 63 dư 60

Ta có:

$ab=2940,\quad BCNN(a,b)=210$

$ƯCLN(a,b)\cdot BCNN(a,b)=ab$

$ƯCLN(a,b)\cdot210=2940$

$ƯCLN(a,b)=14$

Đặt:

$a=14m,\quad b=14n,\quad ƯCLN(m,n)=1$

Khi đó:

$14mn=210$

$mn=15$

Các cặp $(m,n)$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau là:

$(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)$

Suy ra:

$(a,b)=(14,210),(42,70),(70,42),(210,14)$

Vậy các cặp cần tìm là:

$(14,210),(42,70),(70,42),(210,14)$

Ta có:

$a$ chia $11$ dư $5$

$\Rightarrow a=11k+5$

Lại có $a$ chia $13$ dư $8$:

$11k+5=13q+8$

$\Rightarrow 11k-3=13q$

$\Rightarrow 11k\equiv3\pmod{13}$

Vì $11\cdot6=66\equiv1\pmod{13}$ nên:

$k\equiv3\cdot6=18\equiv5\pmod{13}$

Suy ra:

$k=5+13t$

Để $a$ có 3 chữ số:

$11k+5\ge100$

$k\ge\dfrac{95}{11}$

Do đó chọn $k=18$.

$a=11\cdot18+5=203$

Kiểm tra:

$203=11\cdot18+5$

$203=13\cdot15+8$

Vậy $a=203$.