a: Gọi số cần tìm là a

a chia 3 dư 1

=>a-1⋮3

=>a-1+3⋮3

=>a+2⋮3(1)

a chia 4 dư 2

=>a-2⋮4

=>a-2+4⋮4

=>a+2⋮4(2)

a chia 5 dư 3

=>a-3⋮5

=>a-3+5⋮5

=>a+2⋮5(3)

a chia 6 dư 4

=>a-4⋮6

=>a-4+6⋮6

=>a+2⋮6(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra a+2∈BC(3;4;5;6)

=>a+2∈B(60)

=>a+2∈{60;120;180;...}

=>a∈{58;118;178;...}(6)

a⋮11

=>a∈B(11)(5)

Từ (5),(6) suy ra a=418 là giá trị nhỏ nhất

b: a+2⋮60

=>a+2-420⋮60

=>a-418⋮60(7)

a⋮11

=>a-418⋮11(8)

Từ (7),(8) suy ra a-418∈BC(60;11)

=>a-418∈B(660)

=>a-418=660k(k∈N)

=>a=660k+418(k∈N)

Đặt số cần tìm là A thì A + 2 chia hết cho BCNN(3, 4, 5, 6) = 60. Do đó A + 2 có dạng 60k với k nguyên dương. Hơn nữa, A chia hết cho 13 dẫn đến cần tìm k nhỏ nhất sao 60k = 13h + 2 với h nguyên dương và dễ thấy h chẵn. 

Đặt h = 2x => 30k = 13x + 1 <=> 4k = 13y + 1 với y = x - 2k. Vậy y chia 4 dư 3, khi đó 13y + 1 ≥ 13.3 + 1 = 40 => k ≥ 10. 

Nói cách khác giá trị nhỏ nhất của k là 10, suy ra A = 60.10 - 2 = 598.

Vì a:20 dư 5

   a:4 dư 1

   a:7 dư 6

\(\Rightarrow a+15⋮20,4,7\)

\(\Rightarrow a+15\in BC\left(20;4;7\right)\)

\(20=2^2\cdot5;4=2^2;7=7\)

\(\Rightarrow BCNN\left(20;4;7\right)=2^2\cdot5\cdot7=140\)

\(\Rightarrow BC\left(20;4;7\right)=B\left(140\right)=\left(0;140;280;...\right)\)

     \(a+15\in\left(0;140;280;...\right)\)

Mà a là số lớn nhất có 3 chữ số \(\Rightarrow a+15=980\)

                                                    \(\Rightarrow a=965\)

Vậy a=965

Gọi số cần tìm là x

x chia 3 dư 1

=>x-1⋮3

=>x-1+3⋮3

=>x+2⋮3(1)

x chia 4 dư 2

=>x-2⋮4

=>x-2+4⋮4

=>x+2⋮4(2)

x chia 5 dư 3

=>x-3⋮5

=>x-3+5⋮5

=>x+2⋮5(3)

x chia 6 dư 4

=>x-4⋮6

=>x-4+6⋮6

=>x+2⋮6(4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra x+2∈BC(3;4;5;6)

=>x+2∈B(60)

=>x+2⋮60

=>x+2-660⋮60

=>x-658⋮60(5)

x⋮47

=>x-658⋮47(6)

Từ (5),(6) suy ra x-658∈BC(60;47)

mà x là số tự nhiên nhỏ nhất có thể

nên x-658=0

=>x=658

mà BCNN(60;47)=2820

nên x=658+2820k(k∈N)