Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bdt cosi:
\(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^4}{b}.\frac{b^4}{c}.\frac{c^4}{a}}=3abc\)
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\c+d\ge2\sqrt{cd}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c+d\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\) (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\ge2\sqrt{\sqrt{abcd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\dfrac{2\sqrt[4]{abcd}}{2}=\sqrt[4]{abcd}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}\ge\sqrt[4]{abcd}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=d\)
ycbt\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9^4a+9^3b+9^2c+9d+e=32078\left(p\right)\\a,b,c,d,e\in N;\le8;a\ne0\end{cases}}\)
VP(p): 9 dư 2 =>e =2
\(\Rightarrow9^3a+9^2b+9c+d=\frac{32078-2}{9}=4564⋮9\Rightarrow d=0\)
\(\Rightarrow9^2a+9b+c=\frac{3564}{9}=396⋮9\Rightarrow c=0\)
\(\Rightarrow9a+b=\frac{396}{9}=44\)chia 9 dư 8 => b=8
=> 9a=36=>a=4
Vậy S =14
áp dụng bất đẳng thức cauchy schwarz
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2\cdot1}=\frac{9}{2}>4\)
suy ra điều phải chứng minh
Cách 2:
VT=\(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-a}\)\(\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}\)
mà \(\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\le\frac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\)\(=\frac{2}{3}\)
=>\(VT\ge\frac{3}{\frac{2}{3}}=\frac{9}{2}>4\)
\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)
Ta có
\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)
\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)
Thay (1) vào (2)
\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)
Do \(a>b>c>d\)
\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)
\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)
Và
\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)
\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\)
Ta có
(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)
Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên
Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)
\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd
=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố
mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà
Có và ko
có và ko
1+1= MẤY MN ƠI
a) Ta chỉ cần chứng minh luôn có bộ số m,k,a,b,c,d nguyên dương để m^4=(ka^4+b^4)/(kc^4+d^4). Thật vậy chọn a=mc, b=md với m,c,d nguyên dương bất kỳ thì a,b cũng sẽ nguyên dương và ka^4+b^4=k m^4 c^4 + m^4 d^4= m^4( kc^4+d^4) và (ka^4+b^4)/(kc^4+d^4)=m^4
Vậy chọn n=m^4, k=2015, a=mc, b=md, với c,d,m nguyên dương thì ta có vô số số đẹp n=m^4. Có thể ví dụ: 1,16,81,256...đều là các số đẹp và không phụ thuộc lấy số 2015 hay thậm chí giá trị nguyên dương bao nhiêu cũng được
b) Từ câu a suy ra cần chứng minh nếu n là một số đẹp theo tiêu chuẩn của đề bài thì n phải có dạng m^4 với m hữu tỷ Thật vậy, nếu m không là dạng m^4 với m hữu tỷ thì m^(1/4) là số vô tỷ trong khi tiêu chuẩn của đề bài sẽ tạo ra n là một số hữu tỷ, do đó n phải có dạng m^4 với m hữu tỷ=p/q với (p,q)=1
Do đó, nếu 2014 là số đẹp suy ra nó phải là dạng 2014=(p/q)^4 với (p,q)=1 hay p/q=2014^1/4 điều này là không thể xảy ra do bên trái là số hữu tỷ, bên phải là số vô tỷ. Vậy 2014 không phải là số đẹp
khum
Chả có đặc điểm nào cả !
Nó liên quan j đến olm.com đâu
a,Xét: \(a=kc,b=kd\left(k\in Z^+\right)\text{ khi đó ta có:}n=\frac{k^4\left(c^4+d^4\right)}{c^4+d^4}=k^4.\) . Vì thế bất kì số nào là mũ 4 của 1 số nguyên dương khác thì sẽ là số đẹp, từ đây suy ra có vô số số đẹp.
b, Giả sử 2014 là "số đẹp" khi đó: Ta đặt:
\(q=\left(a,b,c,d\right),a=qx,b=qy,c=qz,d=qt\left(\text{ với }\left(x,y,z,t\right)=1\right)\)
Suy ra: \(2014=\frac{2015x^4+y^4}{2015z^4+t^4}.\text{ Từ đây suy ra:}x,y\text{ cùng tính chẵn lẻ. }\)Nhận xét: x4 chia 8 dư 1 nếu x lẻ và chia hết cho 8 nếu ngược lại. Nếu x,y cùng chia hết cho 2 thì khi đó 2015x4+y4 sẽ chia hết cho 8, vì (x,y,z,t)=1 nên z,t không cùng chẵn. Nếu z,t khác tính chẵn lẻ thì suy ra 2014 chia hết cho 8(vô lí). Nếu z,t cùng lẻ thì 2015z4+t4 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2014 chia hết cho 4(vô lí). Vì thế, x,y cùng lẻ. Khi đó 2015x4+y4 chia 8 dư 7+1=0. Do đó 2015x4+y4 chia hết cho 8, lập luận tương tự cũng cho ta điều vô lí.
có và ko
Mình giải nhầm ý b. Giải lại:
Giả sử 2014 là "số đẹp". Nhận xét: 2014 chia hết cho 53. Bổ đề: Nếu ta có x,y nguyên dương và x4+y4 chia hết cho 53 thì x,y cũng vậy. Thật vậy nếu x không chia hết cho 53 thì (x,53)=1 và x4+y4 chia hết cho 53 nên (y,53)=1. Có x4+y4 chia hết cho 53 suy ra: x4.13+y4.13=x52+y52 chia hết cho 53. Lại có (x,53)=(y,53)=1 nên theo định lý fermat nhỏ thì: x52+y52 đồng dư với 2 mod 53(vô lí). Do đó ta phải có x,y chia hết cho 53. Bổ đề được chứng minh.
Đặt: q=(a,b,c,d) khi đó: a=qx,b=qy,c=qz,d=qt(với (x,y,z,t)=1).
\(2014=\frac{2015x^4+y^4}{2015z^4+t^4}\)
Ta có: 2015x4+y4 chia hết cho 53 suy ra: x4+y4 chia hết cho 53, theo bổ đề thì x,y chia hết cho 53 suy ra: 2015x4+y4 chia hết cho 534. Lại có 2014 chia hết cho 53 nhưng không chia hết cho 532 suy ra 2015z4+t4 cũng chia hết cho 53. Tương tự thì z,t cũng chia hết cho 53 suy ra: (x,y,z,t) không nhỏ hơn 53 (vô lí vì (x,y,z,t)=1). Do đó 2014 không là "số đẹp".
mewpeo ko peo
mewpeo ko peo
ЖОПА СЛОНА
Có và không
có và không ạ
đẹp
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Có và không!
bằng 5
thầy huấn dạy chỉ có làm ms có ăn còn cái loại mà mà ko lm mà đòi có ăn í thì lên mạg tìm người lm hộ