Đáp án C

Đáp án A

Đáp án B

Vì tam giác SAC vuông tại A nên ta có 

Gọi:

$AC=BC=x$ vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.

Do $SA\perp(ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$.

Ta có: $SC=a$ nên: $SA^2+AC^2=a^2$

$\Rightarrow SA^2+x^2=a^2$.

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot SA$

$=\dfrac{x^2SA}{6}$.

Từ: $SA^2=a^2-x^2$ suy ra: $SA=\sqrt{a^2-x^2}$.

Do đó: $V=\dfrac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{6}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Vì: $SA\perp(ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ và: $CM\perp BC$

nên mặt phẳng $(SCM)\perp BC$.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:

$\alpha=\widehat{SCM}$.

Trong tam giác vuông $SCM$ tại $C$:

$\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC}$.

Mà: $SM^2=SA^2+CM^2 =SA^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$.

Từ điều kiện cực đại thể tích:

Xét: $f(x)=x^2\sqrt{a^2-x^2}$.

Ta có:

$f'(x)=0 \Rightarrow 2(a^2-x^2)-x^2=0$

$\Rightarrow 2a^2=3x^2$

$\Rightarrow x^2=\dfrac{2a^2}{3}$.

Suy ra: $SA^2=a^2-\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$.

Khi đó:

$SM^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^2}{3} =\dfrac{a^2}{2}$.

Do đó: $SM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC} =\dfrac{a/\sqrt2}{a} =\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}$.

Chọn đáp án A

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra S O ⊥ A B C D  

Gọi M là trung điểm của CD thì  C D ⊥ O M  mà C D ⊥ O M ⇒ C D ⊥ S O M

Đặt AB = 2x(x > 0) ⇒ O M = x

Do ∆ S O M  vuông tại O nên S O = O M . tan S M O ⏜ = x . tan α  

Do  ∆ S O A  vuông tại O nên S A 2 = S O 2 + O A 2  

Thể tích khối chóp S.ABCD là

V S . A B C D = 1 3 S O . S A B C D  

Ta có

Suy ra  

Dấu “=” xảy ra khi

Chọn C.

Phương pháp:

Thể tích của khối chóp ngoại tiếp hình chóp

Cách giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là trung điểm của BC.