Phân tích bài toán

• Cho hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O.
• Rùa bò từ O → M (trên cạnh AB) → N (trên cạnh DC) → B.
• Yêu cầu: MN \parallel BC và tổng độ dài đường gấp khúc OMNB là nhỏ nhất.

✨ Ý tưởng giải

Ta dùng phương pháp phản xạ để biến bài toán đường gấp khúc thành bài toán đường thẳng:

1. Phản xạ điểm B qua cạnh DC → gọi là điểm B'.
2. Khi đó, đường đi ngắn nhất từ O đến B qua M và N (với MN \parallel BC) sẽ tương đương với đường thẳng từ O đến B', cắt cạnh AB tại M, và cắt cạnh DC tại N.

📐 Tính toán

• Gọi hệ trục tọa độ sao cho:
• • A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a)
  • Tâm O có tọa độ \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
  • Phản xạ điểm B(a, 0) qua cạnh DC (đường y = a) → ta được B'(a, 2a)
• Đường thẳng OB' có phương trình:
• • Tính vector chỉ phương: \vec{OB'} = (a - \frac{a}{2}, 2a - \frac{a}{2}) = \left(\frac{a}{2}, \frac{3a}{2}\right)
  • Hệ số góc k = \frac{3a/2}{a/2} = 3
  • Phương trình đường thẳng: y - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2})
• Giao điểm với cạnh AB (tức y = 0) → tìm x_M:
• 0 - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2}) \Rightarrow x = \frac{5a}{6}
• → M\left(\frac{5a}{6}, 0\right)
• Giao điểm với cạnh DC (tức y = a) → tìm x_N:

a - \frac{a}{2} = 3(x - \frac{a}{2}) \Rightarrow x = \frac{2a}{3}

• → N\left(\frac{2a}{3}, a\right)

📏 Tính độ dài đường đi

Tổng độ dài đường gấp khúc OMNB = OM + MN + NB

• OM = \sqrt{\left(\frac{5a}{6} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{13}}{6}
• MN = |x_M - x_N| = \left|\frac{5a}{6} - \frac{2a}{3}\right| = \frac{a}{6}
• NB = \sqrt{\left(a - \frac{2a}{3}\right)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + a^2} = \frac{a\sqrt{10}}{3}

✅ Kết luận

• Vị trí M\left(\frac{5a}{6}, 0\right), N\left(\frac{2a}{3}, a\right)
• Độ dài đường đi ngắn nhất:

OMNB = \frac{a\sqrt{13}}{6} + \frac{a}{6} + \frac{a\sqrt{10}}{3} = \frac{a}{6}(\sqrt{13} + 1 + 2\sqrt{10})