Gọi \(O\) và \(O'\) lần lượt là tâm của hai đáy.

Kẻ \(B'H \bot B{\rm{D}}\left( {H \in B{\rm{D}}} \right),B'K \bot BC\left( {K \in BC} \right)\)

\(\begin{array}{l}B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = 2a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \\B'D' = \sqrt {A'B{'^2} + A'{\rm{D}}{{\rm{'}}^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow B'O' = \frac{1}{2}B'{\rm{D'}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

\(OO'B'H\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow OH = B'O' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},B'H = OO' = a\)

\( \Rightarrow BH = BO - OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác \(BB'H\) vuông tại \(H\) có: \(BB' = \sqrt {B'{H^2} + B{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

\(BCC'B'\) là hình thang cân \( \Rightarrow BK = \frac{{BC - B'C'}}{2} = \frac{a}{2}\)

Tam giác \(BB'K\) vuông tại \(K\) có: \(B'K = \sqrt {BB{'^2} - B{K^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Chọn D

Phương pháp

Góc giữa cạnh bên SA với mặt đáy là góc giữa SA và hình chiếu của SA trên mặt phẳng đáy.

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có SABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu của S trên

(ABCD).

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Đáp án C

Đáp án A

Đặt a> 0 cạnh hình vuông là   Dễ  thấy  

Gọi O là tâm của đáy. Vẽ AH ⊥ SC tại, H, AH cắt SO tại I thì   A I O ^ = φ

Qua I vẽ  đường  thẳng  song  song DB cắt SD, SB theo  thứ  tự  tại K, L. Thiết diện chính là tứ giác

ALHK và tứ giác này có hai đường chéo AH  ⊥ KL Suy ra  

Ta có:  

Theo giả thiết

Giải được

Suy ra  φ = a r c sin 33 + 1 8

Gọi đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$.

Đặt hệ trục tọa độ:
$A\left(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ B\left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{a}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right),\ D\left(-\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$

Vì là chóp tứ giác đều nên:
$S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},-h\right)$

Góc giữa $SC$ và đáy là $\varphi$, khi đó:

$\sin\varphi = \dfrac{h}{SC}$

với:
$SC = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{2} + h^2}$

⇒ $\sin\varphi = \dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Xét mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A$ và vuông góc $SC$:

Thiết diện là một hình tam giác (do cắt 3 cạnh của hình chóp).

Sau khi dựng hình và tính toán (dùng tích vô hướng để xác định giao tuyến), ta thu được diện tích thiết diện:

$S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}}$

Theo đề: $S_{\text{thiết diện}} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} = \dfrac{1}{2} a^2$

Suy ra: $\dfrac{a^2 h}{2\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = \dfrac{a^2}{2}$

Rút gọn: $\dfrac{h}{\sqrt{h^2 + \dfrac{a^2}{2}}} = 1$

Nhận thấy vế trái chính là $\sin\varphi$ nên:

$\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra: $\varphi = \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ$

So sánh với các đáp án:

Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{3+1}{8}}$

tham khảo:

a) AB//CD nên góc giữa SC và AB là góc giữa SC và CD: \(\widehat{SCD}\)

cos\(\widehat{SCD}\)=\(\dfrac{\left(2a\right)^2+a^2-\left(2a\right)^2}{2.2a.a}=\dfrac{1}{4}\)

Suy ra \(\widehat{SCD}=75^0\)

b) Kẻ SO⊥(ABCD). Do các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có: AO⊥OB;AC=\(\sqrt{2}.\sqrt{2}\).a=2a;AO=BO=\(\dfrac{1}{2}\).2a=a

Hình chiếu vuông góc của tam giác SAB là tam giác OAB có diện tích là \(\dfrac{1}{2}\).a.a=\(\dfrac{1}{2}.a^2\)