Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
câu 1 là :từ a/x + b/y + c/z =0 suy ra (ayz+bxz+cxy)/xyz =0 suy ra ayz+bxz+cxy=0 (1)
vì x/a + y/b + z/c =1 (gt) suy ra (x/a + y/b + z/c )^2 = 1^2 . suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2(xy/ab + yz/bc + xz/ac) =1
suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2[(ayz+bxz+cxy)/abc = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 =1 (đpcm)
Bài 1 quan trong là đoán dấu đẳng thức.
1/ Có: \(36=\left(3+2+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c\right)^2\)
\(\therefore\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c\le6\)
\(\frac{1}{3}\left(\frac{a}{bc}+\frac{3b}{2ca}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{b}{ca}+\frac{2c}{ab}\right)+2\left(\frac{c}{ab}+\frac{a}{3bc}\right)\)
\(\ge\frac{\sqrt{6}}{3c}+\frac{3\sqrt{2}}{a}+\frac{4\sqrt{3}}{3b}\)
\(=\frac{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}{c}+\frac{\left(3\sqrt{6}\right)}{\sqrt{3}a}+\frac{\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)}{\sqrt{2}b}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{3}}+\sqrt{3\sqrt{6}}+\sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}}\right)^2}{\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c}\ge2\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\sqrt{3},b=\sqrt{2},c=1\)
Lạ nhỉ mình trả lời rồi mà
ta có {nhân phân phối ra dẽ hơn} là ghép nhân tử
\(\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}....\right)+\left(x+y+z\right)\)
Chia hai vế cho (x+y+z khác 0) chú ý => dpcm
quái lại câu 1 đâu
(a+b+c)=abc tất nhiên theo đầu đk a,b,c khác không
chia hai vế cho abc/2
2/bc+2/ac+2/ab=2 (*)
đăt: 1/a=x; 1/b=y; 1/c=z
ta có
x+y+z=k (**)
x^2+y^2+z^2=k(***)
lấy (*)+(***),<=>(x+y+z)^2=2+k
=> k^2=2+k
=> k^2-k=2
k^2-k+1/4=1/4+2=9/4
\(\orbr{\begin{cases}k=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\\k=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Mình chưa test lại đâu bạn tự test nhé
bạn đưa về 1 ẩn rồi giải nhen :
a) \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{3x}{2}\)
Ta có : \(x.y=54\Leftrightarrow x.\frac{3x}{2}=54\)
\(\Rightarrow3x^2=108\)
\(\Rightarrow x^2=16\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-4\end{cases}}\)
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
Chẳng có gì hay! Bài này chỉ hay khi nó là tìm Min (A đạt min là \(-\frac{446}{725}\) tại \(\left(x;y;z\right)=\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{5}{2}\right)\) và các hoán vị)
Cách 1:
Xét BĐT phụ: \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\left(\text{với }a\ge-\frac{3}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\ge0\) đúng với mọi \(a\ge-\frac{3}{4}\)
Áp dụng: \(A\le\frac{18}{25}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Cách 2: (được suy ra từ cách trên)
Chú ý: \(\frac{a}{a^2+1}=\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}-\frac{\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\)
Từ đó viết được "SOS" (tại nó là sos của t chứ không phải sos chính thống của Phạm Kim Hùng:v)
Cho sửa cái đề:
Tìm \(A_{max}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)
chẳng có j hay
♥️ ♥️ ♥️ ♥️ ♥️ ♥️ ♥️ ❤️
Em xin được làm rõ cách tìm BĐT phụ của anh tth bằng pp hệ số bất định UCT (không biết anh ấy có dùng cái này không, em mới học nên tập làm thử, lưu ý thêm là cái này chỉ nháp nên ta trình bày như anh tth). Có gì sai mong các anh bỏ qua!
Dự đoán điểm rơi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)khi đó \(A=\frac{9}{10}\)
Từ điều kiện giả thiết ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(\frac{k}{k^2+1}\le mk+n\)(1)
Do đó: \(\frac{x}{x^2+1}\le mx+n\);\(\frac{y}{y^2+1}\le my+n\);\(\frac{z}{z^2+1}\le mz+n\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(A\le m\left(x+y+z\right)+3n=m+3n=\frac{9}{10}\)(Do x + y + z = 1)
\(\Rightarrow n=\frac{3}{10}-\frac{1}{3}m\)
Thay \(n=\frac{3}{10}-\frac{1}{3}m\)vào (1), ta được:
\(\frac{k}{k^2+1}\le mk+\frac{3}{10}-\frac{1}{3}m\)
\(\Leftrightarrow\frac{k}{k^2+1}-\frac{3}{10}\le m\left(k-\frac{1}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{10k-3k^2-3}{10\left(k^2+1\right)}\le m\left(k-\frac{1}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(k-\frac{1}{3}\right)\left(-3k+9\right)}{10\left(k^2+1\right)}\le m\left(k-\frac{1}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{-3k+9}{10\left(k^2+1\right)}\)(2)
Đồng nhất k = \(\frac{1}{3}\) vào (2) ta được: \(m=\frac{18}{25}\Rightarrow n=\frac{3}{50}\)
Vậy ta được BĐT phụ \(\frac{k}{k^2+1}\le\frac{25}{18}k+\frac{3}{50}\)(Với \(k\ge\frac{-3}{4}\))
Uầy, nhầm lẫn
Dòng cuối là \(\frac{k}{k^2+1}\le\frac{18}{25}k+\frac{3}{50}\)(với \(k\ge\frac{-3}{4}\)) nha!
Cái của Kiệt dài lắm.
Đặt \(f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+1}\rightarrow f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{10}\)
Ta chọn m để BĐT sau đúng: \(f\left(x\right)\le m\left(x-\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{10}\) (Chú ý rằng đẳng thức đạt tại x = 1/3)
Chọn m dễ rồi:v Nhân tiện có thể chạy code sau trên Maple để tìm BĐT nhanh hơn một chút:v
uct := proc(f, var, val, i)
local x, temp, temp1, temp2, temp3;
x := var;
temp := subs({x = val}, f);
temp1 := m*(x^i - val^i) + temp;
temp2 := factor(temp1 - f)/(x - val);
temp3 := solve(subs(x = val, simplify(temp2)) = 0, m);
return subs(m = temp3, temp1); end proc:
Với bài trên, nhập: \(uct\left(\frac{a}{a^2+1},a,\frac{1}{3},1\right)\) thì được kết quả: \(\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Tổng quát, với bài toán có điều kiện: \(x^i+y^i+z^i=k\) (Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau)
Ta nhập: \(uct\left(f\left(x\right),x,\sqrt[i]{\frac{k}{3}},i\right)\). Chú ý rằng BĐT sau khi uct có thể đúng hoặc sai, sau khi làm cần kiểm tra lại tính đúng đắn của BĐT