Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(\lim\left(\sqrt{9^n-2.3^n}-3^n+\dfrac{1}{2021}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{\left(\sqrt{9^n-2.3^n}-3^n\right)\left(\sqrt{9^n-2.3^n}+3^n\right)}{\sqrt{9^n-2.3^n}+3^n}+\dfrac{1}{2021}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{-2.3^n}{\sqrt{9^n-2.3^n}+3^n}+\dfrac{1}{2021}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{-2.3^n}{3^n\left(\sqrt{1-\dfrac{2}{3^n}}+1\right)}+\dfrac{1}{2021}\right)\)
\(=\lim\left(\dfrac{-2}{\sqrt{1-\dfrac{2}{3^n}}+1}+\dfrac{1}{2021}\right)\)
\(=\dfrac{-2}{1+1}+\dfrac{1}{2021}=-\dfrac{2020}{2021}\)
2.
\(AP=4PB=4\left(AB-AP\right)=4AB-4AP\)
\(\Rightarrow5AP=4AB\Rightarrow AP=\dfrac{4}{5}AB\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AP}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}\)
\(CD=5CQ=5\left(CD-DQ\right)\Rightarrow5DQ=4CD\Rightarrow DQ=\dfrac{4}{5}CD\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DQ}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}\)
\(=-\dfrac{4}{5}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CD}\)
\(=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{CB}\)
\(=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AD}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}\)
Mà \(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC}\) không cùng phương\(\Rightarrow\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{PQ}\) đồng phẳng
a.
\(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow2x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\) (1)
\(-\dfrac{\pi}{3}\le x\le\dfrac{7\pi}{3}\Rightarrow-\dfrac{\pi}{3}\le-\dfrac{\pi}{8}+k\pi\le\dfrac{7\pi}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{5}{24}\le k\le\dfrac{59}{24}\Rightarrow k=\left\{0;1;2\right\}\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow x=\left\{-\dfrac{\pi}{8};\dfrac{7\pi}{8};\dfrac{15\pi}{8}\right\}\)
(C): \(\left(x-2\right)^2+\left(y-6\right)^2=9\)
=>tâm là A(2;6) và bán kính là R=3
Tọa độ B(x;y) là ảnh của A(2;6) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)\) là:
x=2+1=3 và y=6+1=7
=>B(3;7)
Gọi (d') là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (d): x+y-1=0
=>(d'): x-y+c=0
Thay x=3 và y=7 vào (d'), ta được:
3-7+c=0
=>c-4=0
=>c=4
=>(d'): x-y+4=0
Tọa độ giao điểm O của (d) và (d') là:
x+y-1=0 và x-y+4=0
=>x+y=1 và x-y=-4
=>x=(1-4)/2=-3/2 và y=x+4=-3/2+4=5/2
=>O(-3/2;5/2)
Gọi C là ảnh của B qua phép đối xứng trục (d): x+y-1=0
=>(d) là đường trung trực của CB
=>(d)⊥BC tại trung điểm của BC
mà (d)⊥BO tại O
và BO,BC có điểm chung là B
nên B,O,C thẳng hàng
=>O là trung điểm của BC
B(3;7); O(-1,5;2,5); C(x;y)
O là trung điểm của BC
=>\(\begin{cases}x+3=2\cdot\left(-1,5\right)=-3\\ y+7=2\cdot2,5=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-6\\ y=-2\end{cases}\)
=>C(-6;-2)
Ảnh của (C) sau khi thực hiện hai phép dời hình là:
\(\left\lbrack x-\left(-6\right)\right\rbrack^2+\left\lbrack y-\left(-2\right)\right\rbrack^2=R^2\)
=>\(\left(x+6\right)^2+\left(y+2\right)^2=9\)
1.
\(u_{n+1}=4u_n+3.4^n\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{4}\left(n+1\right).4^{n+1}=4\left[u_n-\dfrac{3}{4}n.4^n\right]\)
Đặt \(u_n-\dfrac{3}{4}n.4^n=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=2-\dfrac{3}{4}.4=-1\\v_{n+1}=4v_n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n=-1.4^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{3}{4}n.4^n-4^{n-1}=\left(3n-1\right)4^{n-1}\)
2.
\(a_n=\dfrac{a_{n-1}}{2n.a_{n-1}+1}\Rightarrow\dfrac{1}{a_n}=2n+\dfrac{1}{a_{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a_n}-n^2-n=\dfrac{1}{a_{n-1}}-\left(n-1\right)^2-\left(n-1\right)\)
Đặt \(\dfrac{1}{a_n}-n^2-n=b_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1=2-1-1=0\\b_n=b_{n-1}=...=b_1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a_n}=n^2+n\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{n^2+n}\)
Gọi H là trung điểm AB, có lẽ từ 2 câu trên ta đã phải chứng minh được \(SH\perp\left(ABCD\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}DM\cap\left(SAC\right)=S\\MS=\dfrac{1}{2}DS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)\)
Gọi E là giao điểm AC và DH
Talet: \(\dfrac{HE}{DE}=\dfrac{AH}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow HE=\dfrac{1}{2}DE\)
\(\left\{{}\begin{matrix}DH\cap\left(SAC\right)=E\\HE=\dfrac{1}{2}DE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(H;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)=d\left(M;\left(SAC\right)\right)\)
Từ H kẻ HF vuông góc AC (F thuộc AC), từ H kẻ \(HK\perp SF\)
\(\Rightarrow HK\perp\left(SAC\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SAC\right)\right)\)
ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{HAF}=45^0\Rightarrow HF=AH.sin45^0=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), hệ thức lượng:
\(HK=\dfrac{SH.HF}{\sqrt{SH^2+HF^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)
\(\Rightarrow d\left(M;\left(SAC\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\)
Bài 2;
1: \(y=\frac13x^3-2m\cdot x^2+3mx-5\)
=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-2m\cdot2x+3m=x^2-4m\cdot x+3m\)
Khi m=1 thì y'=\(x^2-4\cdot1\cdot x+3\cdot1=x^2-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\)
y'<=0
=>(x-1)(x-3)<=0
=>1<=x<=3
2:
\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot1\cdot3m=16m^2-12m=4m\left(4m-3\right)\)
y'>0 với mọi x
=>Δ<0 và a>0
=>4m(4m-3)<0 và 1>0
=>m(4m-3)<0
=>0<m<3/4
3: Thay x=1 vào y'=0, ta được:
\(1^2-4m\cdot1+3m=0\)
=>-m+1=0
=>m=1
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4m\)
=>\(x_2+1=4\cdot1=4\)
=>\(x_2=3\)
4: Đặt y'=0
=>\(x^2-4mx+3m=0\)
\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot1\cdot3m=16m^2-12m=4m\left(4m-3\right)\)
Để phương trình có hai nghiệm thì 4m(4m-3)>=0
=>m(4m-3)>=0
=>m>=3/4 hoặc m<=0
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4m;x_1x_2=\frac{c}{a}=3m\)
\(x_1^2+x_2^2=10\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)
=>\(\left(4m\right)^2-2\cdot3m=10\)
=>\(16m^2-6m-10=0\)
=>\(16m^2-16m+10m-10=0\)
=>(m-1)(16m+10)=0
=>m=1(nhận) hoặc m=-10/16=-5/8(nhận)