Giả sử a₁,b₁,c₁,a₂,b₂,c₂ là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{a_1}{a_2}\)+ \(\frac{b_1}{b_2}\)+\(\frac{c_1}{c_2}\)= 0 và \(\frac{a_2}{a_1}\)+\(\frac{b_2}{b_1}\)+\(\frac{c_2}{c_1}\)=1. Chứng minh rằng \(\frac{^{a_{2^2}}}{^{a_{ }}_{ }_{ }1^2}\)+\(\frac{b_{2^2}}{b_{1^2}}\)+\(\frac{c_{2^2}}{c_{1^2}}\)=1 

Câu 1:

Cho biểu thức \(P=\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right):\left(\frac{1}{x+1}-\frac{2x-2}{x^2+x^2-x+1}\right)\)với \(x\ne\pm1\)

a) Rút gọn P.

b) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên.

Câu 2: 

1. Cho đa thức \(P\left(x\right)=x^3-3x-1\)có 3 nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃

a) Chứng minh rằng: x₁ + x₂+ x₃=0; x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = -3 và x₁x₂x₃=1

b) Tính giá trị biểu thức: S = x₁⁹ + x₂⁹ + x₃⁹ ?

2. Giải phương trình: \(\left(x^2-3x+2\right)\left(x^2+9x+20\right)=112\)

Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm M di động trên đoạn BC. Gọi I là điểm bất kì trên đoạn AM và E là giao điểm của BI với cạnh AC.

a) Khi M và I thỏa mãn MC=2MB và AI=2IM. Tính tỉ số độ dài 2 đoạn AE và EC.

b) Khi M là trung điểm của BC, gọi F là giao điểm của CI với cạnh AB. Chứng minh rằng EF // BC ? 

Cho hằng đẳng thức mở rộng :

\(\left(a-b\right)^n=\)aⁿ - C_n¹ . a_n-1 . b + C_n² . a_n-2 . b - ... + C_n^n-1 . a . b^n-1 + bⁿ

Trong đó \(C^k_n\) là tổ hợp chập k của n .

\(C^k_n=\frac{n!}{k!.\left(n-k\right)!}\)

Từ đó tính tổng các hệ số của \(\left(5x-3\right)^6\)

Cần được giải thích ạ:

Chứng minh rằng trong đa thức có các hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng \(\frac{p}{q}\)trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.

*Chứng minh:

Giả sử đa thứ a₀xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n-1x + a_n với các hệ số a₀, a₁, ..., a_n nguyên, có nghiệm hữu tỉ là x=\(\frac{p}{q}\), trong đó p,q thuộc Z, q>0, (p,q)=1

=> a₀xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n-1x + a_n = (qx-p)(b₀x^n-1 + b₁x^n-2+...+b_n-1)

Ta có: -pb_n-1 = a_n.qb₀ = a₀ nên p là ước của a_n, còn q là ước dương của a₀ (Em cần giải thích dòng này ạ)

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau :

a) \(\frac{x+3}{x+1}-\frac{x-3}{x^2-1}-\frac{2x-1}{x-1}\)

b) \(\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{x\left(x-y\right)}+\frac{1}{y\left(y+x\right)}+\frac{1}{y\left(y-x\right)}\)

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P(x) = (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) - 15a⁴

Bài 3. Giải phương trình : x⁴ + 3x³ + 4x² + 3x + 1 = 0

Bài 4. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : \(A=\frac{3-4x}{x^2+1}\)

Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau ở I; các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở J. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA ta dựng về phía ngoài các hình vuông lần lượt có tâm là O₁, O₂, O₃, O₄. Chứng minh tứ giác O₁O₂O₃O₄ là hình vuông.

(Các bạn có thể giải bất kì câu nào mà các bạn muốn)

Bài 1:

1,Tìm m sao cho phương trình ẩn x :(m-1).x+3m-2=0 có nghiệm duy nhất thỏa man x> bằng 1

2,Giải phương trình x²+\(\frac{9x^2}{\left(x+3\right)^2}\)=40

Bài 2::Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O .Một đường thẳng kẻ qua A cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại MN.Gọi K là giao của OM và DN .Chứng minh CK vuông góc BN

Bài 3: hình vuông ABCD và 13 đường thẳng bất kì có cùng tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là \(\frac{2}{5}\).Chứng minh rằng có 4 đường thẳng trong 13 đoạn thẳng đó cùng đi qua 1 điểm

Bài 4:Cho hình bình hành ABCD (AC>BD),hình chiếu vuông góc của C lên AB,AD lần lượt là E và F

Chúng minh:

1,CE.CD=CB.CF và △ABC đồng dạng △FCE

2,AB.AE+AD.AF=AC²

^{Bài 5:}

1,Tìm các số nguyên x,y thảo mãn x²+8y²+4xy-2x-4y=4

2,Cho đa thức h(x) bậc 4 ,hệ số của 3 cao nhất là 1 ,biết h(1)=2;h(2)=5;H(4)=17;H(-3)=10.Tìm đa thức h(x)

Bài 6:Cho biểu thức :A=\(\left(\frac{x^3-1}{x^2-x}+\frac{x^2-4}{x^2-2x}-\frac{2-x}{x}\right):\frac{x+1}{x}\) với x≠0;x≠1;x≠2;x≠-1

1,Rút gọn biểu thức A

2,Tính A biết x thỏa mãn x³-4x²+3x=0

Bài 7:a,Cho a+b+c​​≠0 và a³+b³+c³=3abc.Tính N=\(\frac{a^{2016}+b^{2016}+c^{2016}}{\left(a+b+c\right)^{2016}}\)

b,Tìm số tự nhiên n để n²+4n+2013 là 1 số chính phương

Bai 8: Hình thang ABCD (AB//CD) có 2 đường chéo cắt nhau tại O .Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt cạnh bên AD ,BC theo thứ tự ở M và N.

a, CMR OM=ON

b,CMR: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}\)

c,Biết S_AOB=2015²(đvị diện tích );S_COD=2016²(đvị diện tích ).Tính S_ABCD

Bài 9:Cho a,b,c là các số dương .Chứng minh bất đẳng thức :

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>hoacbang\frac{a+b+c}{2}\)

B1.Cho đa thức P(x)=x11+a₁₀x¹⁰+...+a₁x+m. Biết rằng P(i)=i với mọi 1_<i_<11; a_i,i là số ngyên.Tính chính xác P(12)

B2.Cho đa thức bậc ba f(x) sao cho f(x) chia x²+1 dư 2x+3; chia cho x²+2x dư −3x+2. Tính f(2013)

B3.Cho các số a,b thỏa mãn 6a²=15b²+ab và a²+b² khác 0. Tính giá trị của biểu thức: M=\(\frac{11a^2-2ab+9b^2}{5a^2+3ab+b^2}\)