a, Xét tam giác DOB và tam giác IOA ta có : 

^DOB = ^IOA ( đối đỉnh ) 

^AIO = ^ODB ( DB // CA do cùng vuông AB và 2 góc này ở vị trí so le trong ) 

^OAI = ^OBD = 90⁰ 

Vậy tam giác DOB = tam giác IOA ( ch - gn ) 

=> OD = OI ( 2 góc tương ứng ) 

b, Xét tam giác ICD có CO vuông ID hay CO là đường cao 

Lại có IO = OD ( cmt ) => CO là đường trung tuyến 

=> tam giác ICD cân tại C => CI = CD (2) 

Mặt khác : tam giác DOB = tam giác IOA ( cmt ) => BD = IA (1) 

=> CI = AC + IA lại có (1) ; (2) => CD = AC + BD 

c, Dựng OH vuông CD 

Xét tam giác DHO và tam giác HBO ta có : 

^DHO = ^HBO = 90⁰ 

^HDO = ^ODB ( cùng ''='' ^CID ) 

OD _ chung 

Vậy tam giác DHO = tam giác HBO ( g.c.g ) 

=> OH = OB = R 

Vậy CD là tiếp tuyến đường tròn (O)  

a: Xét tứ giác CAOH có \(\hat{CAO}+\hat{CHO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CAOH là tứ giác nội tiếp

=>C,A,O,H cùng thuộc một đường tròn

b: Gọi K là giao điểm của OC và DB

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBK

=>OC=OK và AC=BK

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có

DO chung

OC=OK

Do đó: ΔDOC=ΔDOK

=>\(\hat{ODC}=\hat{ODK}\) và DC=DK

Xét ΔDHO vuông tại H và ΔDBO vuông tại B có

DO chung

\(\hat{HDO}=\hat{BDO}\)

Do đó: ΔDHO=ΔDBO

=>DH=DB và OH=OB

OH=OB

=>OH=R

=>H nằm trên (O;R)

=>CD là tiếp tuyến tại H của (O)

c: Xét (O) có

CA,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CH

Xét ΔOCD vuông tại O có OH là đường cao

nên \(HC\cdot HD=OH^2\)

=>\(AC\cdot BD=R^2\)

Kẻ OH⊥CD tại H và CO cắt BD tại K

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔOBK vuông tại B có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAC=ΔOBK

=>AC=BK và \(\hat{OCA}=\hat{OKB}\) ; OC=OK

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDOK vuông tại O có

DO chung

OC=OK

Do đó: ΔDOC=ΔDOK

=>DC=DK

=>DC=DB+BK=DB+AC

ΔDOC=ΔDOK

=>\(\hat{OCD}=\hat{OKD}\)

=>\(\hat{OCD}=\hat{OCA}\)

=>CO là phân giác của góc ACD

Xét ΔCAO vuông tại A và ΔCHO vuông tại H có

CO chung

\(\hat{ACO}=\hat{HCO}\)

Do đó: ΔCAO=ΔCHO

=>OA=OH

=>H nằm trên (O;R)

Xét (O;R) có

OH là bán kính

CD⊥OH tại H

Do đó: CD là tiếp tuyến tại H của (O)

Xét ΔODK vuông tại O có OB là đường cao

nên \(BD\cdot BK=OB^2\)

=>\(BD\cdot AC=OB^2=\left(\frac12AB\right)^2=\frac14AB^2\)

K