Đặt chu vi COH là \(P=OC+OH+CH\)

Ta có:

\(P=OC+OH+CH\le OC+\sqrt{2\left(OH^2+CH^2\right)}=OC+\sqrt{2OC^2}=OC\left(1+\sqrt{2}\right)=R\left(1+\sqrt{2}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(OH=CH\Rightarrow\Delta OCH\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{COH}=45^0\) hay C là điểm nằm trên cung AB sao cho OC hợp với AB 1 góc 45 độ

//Phía trên sử dụng BĐT \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\) để đánh giá

a.

\(DH\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{DHB}=90^0\Rightarrow D;H;B\) cùng thuộc đường tròn đường kính DB

\(\widehat{AEB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) \(\Rightarrow\widehat{DEB}=90^0\)

\(\Rightarrow D;E;B\) cùng thuộc đường tròn đường kính DB

\(\Rightarrow\) Tứ giác BHDE nội tiếp đường tròn đường kính DB

b.

\(\widehat{ACB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\) (cùng phụ \(\widehat{BAC}\))

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\) (cùng chắn cung AC của (O)

\(\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{AEC}\)

Xét hai tam giác ADC và ACE có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACH}=\widehat{AEC}\left(cmt\right)\\\widehat{CAD}\text{ chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta ACE\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{CD}{EC}\Rightarrow AD.EC=CD.AC\)

c.

Cũng theo cmt \(\Delta ADC\sim\Delta ACE\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AE=AC^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao CH:

\(BC^2=BH.BA\)

\(\Rightarrow AD.AE+BH.BA=AC^2+BC^2=AB^2=2022^2\)

bieu thuc:
m = a² + ab + b² - 3a - 3b + 2001

ta nhom cac hang tu:

m = (a² - 3a) + (ab) + (b² - 3b) + 2001

= (a² - 3a) + (b² - 3b) + ab + 2001

xet bieu thuc m theo a va b, ta co y tuong hoan thanh binh phuong

xet: a² - 3a = (a - 3/2)² - 9/4
xet: b² - 3b = (b - 3/2)² - 9/4

=> m = (a - 3/2)² - 9/4 + (b - 3/2)² - 9/4 + ab + 2001

= (a - 3/2)² + (b - 3/2)² + ab + 2001 - 9/2

= (a - 3/2)² + (b - 3/2)² + ab + 1996.5

de m nho nhat thi 2 binh phuong phai nho, va ab phai nho

do do ta set (a - 3/2) = x, (b - 3/2) = y => a = x + 3/2, b = y + 3/2

thay vao ta co:

m = x² + y² + (x + 3/2)(y + 3/2) + 1996.5

= x² + y² + xy + (3/2)x + (3/2)y + 9/4 + 1996.5

= x² + y² + xy + (3/2)(x + y) + 2006.75

muc tieu la tim x va y de bieu thuc nho nhat

bieu thuc chinh la: x² + y² + xy + (3/2)(x + y) + hang so

de nho nhat thi dao ham hoac thu thu

nhung ta co the thu cac gia tri x = 0, y = 0

=> a = 3/2, b = 3/2

=> m = (3/2)² + (3/2)(3/2) + (3/2)² - 3(3/2) - 3(3/2) + 2001
= 2.25 + 2.25 + 2.25 - 4.5 - 4.5 + 2001
= 6.75 - 9 + 2001 = 1998.75

=> m nho nhat la 1998.75 khi a = b = 3/2

vay:

a = 3/2, b = 3/2 thi m dat gt nho nhat la 1998.75

(Quá lực!!!)

E N A B C D O H L

Đầu tiên, hãy CM tam giác \(EAH\) và \(ABD\) đồng dạng.

Từ đó suy ra \(\frac{EA}{AB}=\frac{AH}{BD}\) hay \(\frac{EA}{OB}=\frac{AC}{BD}\).

Từ đây CM được tam giác \(EAC\) và \(OBD\) đồng dạng.

Suy ra \(\widehat{ECA}=\widehat{ODB}\). Do đó nếu gọi \(OD\) cắt \(EC\) tại \(L\) thì CM được \(OD⊥EC\).

-----

Đường tròn đường kính \(NC\) cắt \(EC\) tại \(F\) nghĩa là \(NF⊥EC\), hay \(NF\) song song với \(OD\).

Vậy \(NF\) chính là đường trung bình của tam giác \(AOD\), vậy \(NF\) qua trung điểm \(AO\) (là một điểm cố định) (đpcm)

a, (O): góc BAC=90 độ (góc nt chắn nửa đường tròn).

(I): góc AEH=90(góc nt chắn nửa đường tròn). góc ADH=90(góc nt chắn nửa đường tròn) => tg AEHD là hcn(có 3 góc vuông)

b) (I): góc ADE=góc AHE( nt cùng chắn cung AE)

ta lại có:góc AHE=góc ABH( cùng phụ với góc BAH.) => ADE=ABH

=> tg BEDC nội tiếp (góc trong tại 1 đỉnh = góc ngoài tại đỉnh đối diện)

c, tg AEHD là hcn; AH cắt AD tại I => IA=IH=IE=ID

tam giác ADH: DI là trung tuyến

tam giác: AMH: MI là trung tuyến => D,M,I thẳng hàng. mà E,M,I thẳng hàng=> D,M,E thẳng hàng.

Nhớ L I K E nha