Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cau a , xet phuong trinh 1 la 8(x+y) =x^2 +2y^2 + 3xy
ta co , 8(x+y) = x^2 +2xy+y^2 +y^2+xy
8(x+y)= (x+y)^2+y(x+y)
(x+y)((x+y)+y-8)=0 xét (x+y)=0 và (x+2y-8)=0 . xét từng trường hợp rồi thế vào phương trình 2 rồi tự giải lột nhe
cau 2 de kho hieu the , viet lai xem nao sao 2 phong trinh ma bang mot bieu thuc thoi ak
bạn trả lời từng câu cũng được mà :) làm được câu nào thì giúp mình nhé. Tks!
trong cac phan so sau :2/3 ;2/8 ;17/300 ;1/30.phan so thap phan la phan so
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
\(\begin{cases}\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=8-x^3\left(1\right)\\\left(x-1\right)^4=y\left(2\right)\end{cases}\)
Đk: \(x\ge1;y\ge0\)
Thay (2) vào (1) ta đc:
\(\sqrt{x-1}-\left(x-1\right)^2=-x^3+8\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1=-x^3+x^2-2x+8\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\cdot\frac{\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x-1}+1}=\left(-x^3+2x^2\right)-\left(x^2-2x\right)-\left(4x-8\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{-x^2-x-4}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x-2=0\\\sqrt{x-1}+1=-x^2-x-4\left(3\right)\end{array}\right.\)
(3) vô nghiệm do \(VT>0;VP< 0\) với mọi x
\(\Leftrightarrow x=2\left(tm\left(x\ge1\right)\right)\Rightarrow y=1\)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm x = 2; y = 1
Hệ phương trình đã cho là:
$$\begin{cases} 2y^3 + 2x\sqrt{1-x} = \sqrt{1-x} - y \quad (1) \\ 2x^2 + 2xy\sqrt{1+x} = y + 1 \quad (2) \end{cases}$$1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Để các căn thức có nghĩa, ta cần:
$$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 1 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$$Vậy, ĐKXĐ là: $-1 \le x \le 1$.
2. Biến đổi phương trình (1)
Chuyển các số hạng chứa $\sqrt{1-x}$ về một vế và các số hạng còn lại về vế kia:
$$2y^3 + y = \sqrt{1-x} - 2x\sqrt{1-x}$$ $$2y^3 + y = \sqrt{1-x} (1 - 2x)$$Nếu đặt $z = \sqrt{1-x}$, ta có $z \ge 0$ và $z^2 = 1-x$, hay $x = 1 - z^2$.
Thay $x$ vào biểu thức $1 - 2x$:
$$1 - 2x = 1 - 2(1 - z^2) = 1 - 2 + 2z^2 = 2z^2 - 1$$Thay lại vào phương trình (1) đã biến đổi:
$$2y^3 + y = z(2z^2 - 1) = 2z^3 - z$$ $$2y^3 + y = 2z^3 - z$$ $$\iff 2y^3 + y = 2z^3 + (-z)$$Xét hàm số $f(t) = 2t^3 + t$. Ta có $f'(t) = 6t^2 + 1 > 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$.
$\implies f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, từ $f(y) = f(-z)$, suy ra $y = -z$.
Thay $z = \sqrt{1-x}$ trở lại, ta được mối liên hệ:
$$y = -\sqrt{1-x} \quad (*)$$3. Thay thế vào phương trình (2)
Thay $(*)$ vào phương trình $(2)$:
$$2x^2 + 2x(-\sqrt{1-x})\sqrt{1+x} = -\sqrt{1-x} + 1$$Sử dụng công thức $\sqrt{1-x}\sqrt{1+x} = \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^2}$ (do $-1 \le x \le 1$):
$$2x^2 - 2x\sqrt{1-x^2} = 1 - \sqrt{1-x}$$Lưu ý rằng $\sqrt{1-x} \ge 0$, và $y = -\sqrt{1-x} \le 0$, tức là $y$ không dương.
Xét vế trái của $(2)$: $2x^2 + 2xy\sqrt{1+x}$.
Từ $(*)$, ta có $y^2 = 1 - x$, hay $x = 1 - y^2$.
Thay $x = 1 - y^2$ vào $(2)$:
$$2(1 - y^2)^2 + 2(1 - y^2)y\sqrt{1 + (1 - y^2)} = y + 1$$Đây là một phương trình rất phức tạp. Ta nên biến đổi phương trình $(2)$ một cách khác.
Quay lại phương trình:
$$2x^2 - 2x\sqrt{1-x^2} = 1 - \sqrt{1-x}$$Ta nhận thấy vế trái có dạng bình phương thiếu. Nhân 2 vế với 2:
$$4x^2 - 4x\sqrt{1-x^2} = 2 - 2\sqrt{1-x}$$ $$2x^2 + (2x^2 - 4x\sqrt{1-x^2}) = 2 - 2\sqrt{1-x}$$Đây không phải là một hướng đi đơn giản. Ta nên thử phương pháp lượng giác do kết quả có dạng lượng giác.
4. Phương pháp lượng giác
Đặt $x = \cos t$, với $t \in [0, \pi]$ (vì $-1 \le x \le 1$).
Từ $(*)$, ta có $y = -\sqrt{1-x}$.
$$y = -\sqrt{1 - \cos t} = -\sqrt{2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)}$$Vì $t \in [0, \pi] \implies \frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \left(\frac{t}{2}\right) \ge 0$.
Nên $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$.
Thay $x = \cos t$ và $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$ vào phương trình $(2)$:
$$2x^2 + 2xy\sqrt{1+x} = y + 1$$ $$2\cos^2 t + 2(\cos t) \left(-\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \sqrt{1 + \cos t} = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right) + 1$$Sử dụng công thức: $\sqrt{1 + \cos t} = \sqrt{2\cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = \sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)$ (vì $\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$).
$$\begin{aligned} 2\cos^2 t + 2\cos t \left(-\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \left(\sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right) &= 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right) \\ 2\cos^2 t - 4\cos t \left(\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right) &= 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\end{aligned}$$Sử dụng công thức $\sin t = 2\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)$:
$$2\cos^2 t - 2\cos t \sin t = 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$ $$2\cos^2 t - \sin(2t) = 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$Sử dụng công thức $\cos(2t) = 2\cos^2 t - 1$, hay $2\cos^2 t = 1 + \cos(2t)$:
$$1 + \cos(2t) - \sin(2t) = 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$ $$\cos(2t) - \sin(2t) = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$Sử dụng công thức $a\cos \alpha + b\sin \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\alpha - \phi)$:
$$\sqrt{1^2 + (-1)^2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2t) - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2t)\right] = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$ $$\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(2t) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(2t)\right] = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$ $$\sqrt{2}\cos\left(2t + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$:
$$\cos\left(2t + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \left(\frac{t}{2}\right)$$Sử dụng công thức $-\sin \alpha = \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$:
$$\cos\left(2t + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)$$Phương trình có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
$$2t + \frac{\pi}{4} = \frac{t}{2} + \frac{\pi}{2} + k2\pi$$ $$\frac{3t}{2} = \frac{\pi}{4} + k2\pi$$ $$t = \frac{\pi}{6} + \frac{4k\pi}{3}$$Do $t \in [0, \pi]$, ta thay $k = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$ (nhận)
Nếu $k = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} > \pi$ (loại).
Với $t = \frac{\pi}{6}$:
$$x = \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$$Giá trị này không khớp với đáp án $\left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$. Trường hợp này bị loại.
Trường hợp 2:
$$2t + \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{2}\right) + k2\pi$$ $$2t + \frac{\pi}{4} = -\frac{t}{2} - \frac{\pi}{2} + k2\pi$$ $$\frac{5t}{2} = -\frac{3\pi}{4} + k2\pi$$ $$t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{4k\pi}{5}$$Do $t \in [0, \pi]$, ta thử các giá trị $k$:
Với $t = \frac{\pi}{2}$:
$$x = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$y = -\sqrt{1 - 0} = -1$$Kiểm tra nghiệm $(x; y) = (0; -1)$ vào hệ ban đầu:
$$(1): 2(-1)^3 + 2(0)\sqrt{1-0} = \sqrt{1-0} - (-1) \implies -2 + 0 = 1 + 1 \implies -2 = 2 \quad \text{(Vô lí)}$$Trường hợp này cũng bị loại.
5. Xem xét lại đáp án gợi ý
Đáp án gợi ý là: $(x; y) = \left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$.
Nếu đây là nghiệm, ta phải có $y = -\sqrt{1-x}$.
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{1 - \cos \frac{3\pi}{10}}$
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2\sin^2 \frac{3\pi}{20}}$
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}$ (vì $\frac{3\pi}{20} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \frac{3\pi}{20} > 0$)
$\iff 2\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = 0 \quad \text{(Vô lí vì } \sin...