Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Chọn mp(ABC) có chứa BC
Xét ΔSAC có
M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC
=>MN là đường trung bình của ΔSAC
=>MN//AC
Xét (MNP) và (ABC) có
P∈(MNP) giao (ABC)
MN//AC
Do đó: (MNP) giao (ABC)=xy, xy đi qua P và xy//MN/?AC
Gọi K là giao điểm của xy và BC
=>K là giao điểm của BC và mp(MNP)
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}S=\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\\Sx//AB//CD\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=Sx\)
b/ \(\left(MCD\right)\cap\left(ABCD\right)=CD\)
\(\left(MCD\right)\cap\left(SBC\right)=MC\)
\(\left(MCD\right)\cap\left(SCD\right)=CD\)
\(\left(MCD\right)\cap\left(SAB\right)=My\left(My//AB//CD\right)\)
\(\Rightarrow TD:CDM\)
Vậy thiết diện là hình tam giác.
P/s: Chắc bạn sẽ thắc mắc tại sao lại ko xét trường hợp (MCD) cắt (SAD). Bởi vì chúng ko có giao tuyến :)
Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.
Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)
\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)
Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)
Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)
Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND
\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)
\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)
\(DE=AD=a\)
\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\)
\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)
\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\)
Do IJ là đường thẳng trung bình của hình thang ABCD nên IJ // AB. Hai mặt phẳng (GIJ) và (SAB) lần lượt chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua G và song song với AB. Đường thẳng này cắt SA tại điểm M và cắt SB tại N. vậy thiết diện là hình thang MIJN, với M, N là giao điểm của đường thẳng đi qua G và song song với AB với hai đường thẳng SA, SB.
Đáp án B.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.
Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:
$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$
Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:
- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$
- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$
- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:
- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có
- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có
- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$
Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:
- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$
- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$
- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$
- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$
⇒ $R = (a/2, a, a)$
Thiết diện là tam giác $PSR$:
- $P = (a/2,0,0)$
- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ
- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?
- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không
- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$
- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$
- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không
Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:
- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$
- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$
- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?
- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không
- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$