\(x^2-6x+5\le0\Leftrightarrow1\le x\le5\)

Hệ đã cho có nghiệm khi \(f\left(x\right)=x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\le0\) có nghiệm thuộc \(\left[1;5\right]\)

\(\Delta'=\left(a+1\right)^2-a^2-1=2a\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\\a+1\in\left[1;5\right]\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\a+1\in\left[1;5\right]\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\\left[{}\begin{matrix}f\left(1\right)\le0\\f\left(5\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\left[{}\begin{matrix}a^2-2a\le0\\a^2-10a+16\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow0\le a\le8\)

tại sao trường hợp 1 lại thế ạ (tại sao lại xét trường hợp 1).với lại trường hợp 2 sao phải cho f(1) với f(5) ≤0 ạ.em chưa hiểu lắm mong thầy giải thích

Bài 1 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(m-1\right)x\ge2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 1, hệ vô nghiệm

Nếu m ≠ 1, hệ tương đương

\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\x\le\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\x\ge\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi một trong hai hệ trong hệ ngoặc vuông có nghiệm ⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{2}{m-1}\ge-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\\dfrac{2}{m-1}\le4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\-2\le1-m\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1< m\le4\\2\le4m-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le m< 1\\\dfrac{3}{2}\le m\le4\end{matrix}\right.\)

\(x^2-5x+4\le0\)

=>(x-1)(x-4)<=0

=>1<=x<=4

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x^2-2x-\left(m^2+1\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)-\left(m^2+1\right)\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left\lbrack x-\left(m^2+1\right)\right\rbrack\)

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

=>\((x - 2)(x - (m^2 + 1)) \le 0\)

TH1: \(m^2+1=2\)

=>(x-2)(x-2)<=0

=>x=2

=>S=[1;4]\(\cap\) {2}={2}

=>Loại

TH2: \(m^2+1>2\)

=>\(m^2>1\)

=>m>1 hoặc m<-1

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>2<=x<=\(m^2+1\)

=>S=[1;4]\(\cap\) [2;\(m^2+1\) ]

Để đoạn giao nhau có độ dài bằng 1 thì \(\left(m^2+1\right)-2=1\)

=>\(m^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m=\sqrt2\left(nhận\right)\\ m=-\sqrt2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH3: \(m^2+1<2\)

=>\(m^2<1\)

=>-1<m<0

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>\(m^2+1\le x\le2\)

Độ dài của tập nghiệm là: \(2 - (m^2 + 1) = 1 - m^2\)

Theo đề, ta có: \(1-m^2=1\iff m^2=0\iff m=0\) (nhận)

\(x^2-4x-5>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>5\\x< -1\end{matrix}\right.\)

Xét pt: \(x^2-\left(m-1\right)x-m\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-m\right)\le0\) (1)

- Với \(m=-1\) hệ BPT vô nghiệm

- Với \(m>-1\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow-1< x< m\)

Để hệ BPT có nghiệm \(\Leftrightarrow m>5\)

- Với \(m< -1\) \(\Leftrightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow m< x< -1\)

Hệ BPT luôn có nghiệm

Vậy để hệ BPT có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< -1\end{matrix}\right.\)

a)\(\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\Rightarrow m>\dfrac{1}{2}\left(1\right)\\m^2-\left(m-2\right)\left(2m-1\right)< 0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow m^2-\left(2m^2-m-4m+2\right)=-m^2+5m-2< 0\)

\(m^2-5m+2>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{5-\sqrt{17}}{2}< \dfrac{1}{2}\\m>\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Nghiệm hệ là

\(m>\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\)

b)\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-m-2< 0\left(1\right)\\\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-m-2\right)\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-m-2\right)=9< 0,\forall m\). 
Suy ra (2) vô nghiệm .

Kết luận hệ vô nghiệm.

Em chú ý: Đầu dòng viết hoa nhé. Cảm ơn em đã trả lời bài.