Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trên đây nó ko cho đăng ảnh,mn chịu khó nhập link này vào nha:https://i.imgur.com/xQNntGH.png
Vì a, b, c > 0
=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho :
- Bộ số a/b, 1 ta được :
\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)
- Bộ số b/c, 1
\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)
- Bộ số c/a, 1
\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế
=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
BĐT
<=> \(\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{3\left(ac+bc+ac\right)}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
<=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{a\left(a\left(b+c\right)+bc\right)}{b+c}+...\right)\)
<=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)
Mà \(\frac{abc}{b+c}\le abc.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc\right)\)
Khi đó BĐT
<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách này chủ yếu biến đổi tương đương nên chắc phù hợp với lớp 8
Nếu sử dụng SOS nhìn vào sẽ làm đc liền vì có Nesbitt lẫn \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)
Sử dụng trường hợp riêng của BĐT Schur. Với a,b,c là các sooa thực ko âm và k>0 ta luôn có :
\(a^k\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^k\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^k\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)
Anh tth_new ơi,mẹ em bắt em dirichlet ạ :( Mẹ em còn chỉ em bài toán tổng quát là:
Cho a,b,c dương,CMR:\(m\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+3m+2\ge\left(2m+1\right)\left(a+b+c\right)\)
\(BĐT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge5\left(a+b+c\right)\)
Thôi,đi vào giải quyết bài toán.
Trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu,giả sử đó là \(a-1;b-1\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\)
Ta cần chứng minh:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\ge5\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-2\right)^2+\left(c+a-2\right)^2+3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2+2\left(c-1\right)^2\ge0\)
Hình như cái BĐT cuối đúng thì phải ạ.
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
\(\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)=\Sigma\frac{a\left(b+c\right)^2+\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}=\Sigma a+\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\)
Mặt khác ta có :
\(\left(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\right)\left(\Sigma a\right)=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}+\Sigma\left(a^2+bc\right)\) ( nhân vào xong tách )
\(=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}-\Sigma a^2+\Sigma\left(2a^2+bc\right)=\Sigma\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{b+c}+\Sigma\left(2a^2+bc\right)\) ( * )
Theo BĐT Vornicu Schur chứng minh được ( * ) không âm.
do đó : \(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\ge\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\)
Theo đề bài , cần chứng minh : \(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Kết hợp với dòng đầu tiên t cần c/m :
\(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma a+\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\right)\ge\frac{9}{4}\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)\)
Quy đồng lên, ta được :
\(\Sigma a^3\left(b+c\right)\ge2\Sigma\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\Sigma ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)đpcm
Sử dụng dồn biến chứ k phải vậy
cách này cũng được mà. có khi dễ hiểu hơn cách kia ấy
Ok. Iran TST chứng minh đc bằng nhiều cách mà. Sos, dồn biến, biến đổi tương đương.
Coi như góp vào 1 cách giải cho bđt này. Thx
Ca Bui : mày là ai thế
Mình là ai thì có gì không nào. Tôi bình luận và cảm ơn bạn vì đã đóng góp một method mới nhưng lại hỏi người khác như vây ơ........
\(t=\frac{a+b}{2}\)
Khi đó
\(f\left(a,b,c\right)=\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}\)
\(=\frac{1}{4t^2}+\frac{a^2+b^2+2c\left(a+b\right)+2c^2}{\left(c^2+ab+bc+ac\right)^2}\)
Mà \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=2t^2\)
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=t^2\)
=> \(f\left(a,b,c\right)\ge\frac{1}{4t^2}+\frac{2t^2+4ct+2c^2}{\left(c^2+t^2+2ct\right)^2}=\frac{1}{4t^2}+\frac{2}{\left(c+t\right)^2}=f\left(t,t,c\right)\)
\(t^2+2tc=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow t^2-ab=c\left(a+b-2t\right)\)
Giả sử \(t^2< ab\Rightarrow2t>a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow t^2>ab\)(vô lí với giả sử)
Vậy giả sử là sai hay \(a+b\ge2t\ge2\sqrt{ab}\ge2c\).
Từ \(\left(t+c\right)^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
f(a;b;c) - f(t;t;c) \(=-\frac{\left(a+b-2t\right)\left(2t+a+b\right)}{4t^2\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-2\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left[\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left[\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}-\frac{\left(a+b-2t\right)\left(2t+a+b\right)}{\left[2t\left(a+b\right)\right]^2}\) . BĐT đến đây đảo chiều?
=> bài làm trên đó sai hay là tôi làm sai nhỉ:))
trên olm này tốt nhất là đừng đưa mấy bài kiểu tầm kể quốc gia quốc tế này có ai hiểu đâu . Trên này toàn hỏi mấy bài toán linh tinh