$\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$

$\angle ABC=\angle HBA$

$\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle HBA$ (g.g).

Suy ra:

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

$BC=BH+HC=4+9=13$

$AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52$

$\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}$.

Từ các tam giác đồng dạng:

$AH^2=BH\cdot HC=4\cdot9=36$

$\Rightarrow AH=6\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=AH\cos\angle BAH$

Mà từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AD=HC=9\text{ cm}$

Tương tự:

$AE=BH=4\text{ cm}$.

Vì $\angle DAE=90^\circ$ nên:

$DE^2=AD^2+AE^2$

$=9^2+4^2$

$=97$

$\Rightarrow DE=\sqrt{97}\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=HC,\quad AE=BH$

$AB^2=BH\cdot BC$

$AC^2=HC\cdot BC$

$\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{HC}}$

Mặt khác:

$\frac{AD}{AE}=\frac{HC}{BH}$.

Cách nhanh hơn, dùng $AB=2\sqrt{13}, AC=3\sqrt{13}$:

$AD\cdot AB=9\cdot2\sqrt{13}=18\sqrt{13}$

$AE\cdot AC=4\cdot3\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

Hai vế không bằng nhau, nên với dữ kiện câu b thì mệnh đề c như đề ghi không đúng.

Có khả năng đề bài bị nhầm vị trí $D,E$ hoặc câu c có điều kiện khác. Bạn kiểm tra lại đề nhé

Với câu d, nếu dùng đúng cách xác định $D,E$ như đề thì đặt:

$BH=m,\quad HC=n$

Khi đó:

$AD=HC=n,\quad AE=BH=m$

$S_{ADE}=\frac12mn$

Mặt khác:

$S_{ABC}=\frac12AB\cdot AC$

$AB=\sqrt{m(m+n)},\quad AC=\sqrt{n(m+n)}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac12(m+n)\sqrt{mn}$

Do đó:

$S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}$.

Điều kiện:

$S_{ADE}=\frac13S_{BDEC}$

$\Rightarrow4S_{ADE}=S_{ABC}$

$\Rightarrow2mn=(m+n)\sqrt{mn}$

$\Rightarrow2\sqrt{mn}=m+n$

Theo bất đẳng thức:

$m+n\ge2\sqrt{mn}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$m=n$

$\Rightarrow BH=HC$

$\Rightarrow AB=AC$.

Vậy tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.

B A C E M H D

a, Xét \(\Delta ABC\left(\perp A\right)\) và \(\Delta HBA\left(\perp H\right)\) có \(\widehat{B}\) chung

b,\(\Delta ABC\sim\Delta HBA\) theo a

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\Leftrightarrow AB^2=HB.BC\)

                                     \(=4.\left(4+9\right)\)

\(\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\) (cm)

Áp dụng định lí py-ta-go trong \(\Delta ABH\):

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=6\left(cm\right)\)

Vì \(AH=DE=6cm\)

c, Xét \(\Delta HBA\left(\perp H\right)\) và \(\Delta DHA\left(\perp D\right)\) có \(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta DHA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\Rightarrow AD.AB=AH^2\) \(\left(1\right)\)

Tương tự \(\Delta EHA\sim\Delta HCA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

-Chúc bạn học tốt-

Nhầm nhé

a: Xét tứ giác ADCH có

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của HD

Do đó: ADCH là hình bình hành

mà \(\widehat{AHC}=90^0\)

nên ADCH là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ADHE có

HE//AD

HE=AD
Do đó:ADHE là hình bình hành