Bài làm

a) Vì AH vuông góc với BC

=> Tam giác AHC vuông ở H.

=> \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)                                 (1) 

Vì HN vuông góc với AC

=> Tam giác HNC vuông ở N

=> \(\widehat{NHC}+\widehat{C}=90^0\)                             (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{HAC}=\widehat{NHC}\)

Xét tam giác AHN và tam giác ACH có:

\(\widehat{ANH}=\widehat{HNC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{HAC}=\widehat{NHC}\)

=> Tam giác AHN ~ tam giác ACH ( g - g )

b) Xét tam giác AHB vuông ở H,

Theo định lí Thales có:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

Hay \(15^2=12^2+HB^2\)

\(\Rightarrow225=144+HB^2\)

\(\Rightarrow HB^2=81\)

\(\Rightarrow HB=9\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHC vuông ở H có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(13^2=12^2+HC^2\)

\(\Rightarrow169=144+HC^2\)

\(\Rightarrow HC^2=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=5\left(cm\right)\)

Ta có: HB + HC = BC

hay 9 + 5 = BC

=> BC = 14 ( cm )

a: ΔAHB vuông tại H 

mà HN là đường cao

nên AN*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H

mà HM là đường cao

nên AM*AC=AH^2

=>AN*AB=AM*AC

=>AN/AC=AM/AB

=>ΔANM đồng dạng với ΔACB

b: \(BH=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

\(CH=\sqrt{13^2-12^2}=5\left(cm\right)\)

=>BC=14cm

B H M A C N

( Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa )

a) Tính BC và AH :

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC :

AB2+AC2=BC2AB2+AC2=BC2

82+152=BC282+152=BC2

⇒BC=17(cm)⇒BC=17(cm)

Ta có : SABC=12⋅AB⋅AC=12⋅AH⋅BCSABC=12⋅AB⋅AC=12⋅AH⋅BC

⇔AH=AB⋅ACBC=8⋅1517=12017(cm)⇔AH=AB⋅ACBC=8⋅1517=12017(cm)

b) Có Aˆ=900A^=900(giả thiết), 

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:

$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$

$\angle ABH=\angle ABC$

$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$

$\angle HAB=\angle ACH$

$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.

Ta có:

$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.

Suy ra:

$AE=HF,\quad AF=HE$.

Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:

$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.

Mà:

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có:

$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$

$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$

$AB^2=BC^2-AC^2$

$=30^2-12^2$

$=756$

$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.

Theo hệ thức lượng:

$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$

$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$

$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$

$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.

Do $\angle EAF=90^\circ$:

$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$

$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$

$=60,48\text{ cm}^2$.

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:

$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$

$\angle ABH=\angle ABC$

$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:

$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$

$\angle HAB=\angle ACH$

$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.

Ta có:

$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$

$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.

Suy ra:

$AE=HF,\quad AF=HE$.

Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:

$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.

Mà:

$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.

Lại có:

$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$

$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).

$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$

$AB^2=BC^2-AC^2$

$=30^2-12^2$

$=756$

$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.

Theo hệ thức lượng:

$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$

$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$

$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$

$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.

Do $\angle EAF=90^\circ$:

$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$

$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$

$=60,48\text{ cm}^2$.