Chọn C

Xác định được 

Khi đó ta tính được 

Trong mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật => AB//(SCD) nên

Từ (1) và (2) suy ra 

Xét tam giác vuông SAD có

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác vuông cân tại $B$)

Vì $SA \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(a,0,h)$

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$

$\vec{SB} = (-a,0,-h),\ \vec{SC} = (-a,a,-h)$

$\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,\ 0,\ -a^2)$

Góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos 60^\circ = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|,|\vec{n_2}|}$

Tính:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = a^2$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$

Suy ra:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{a^2}{h^2 + a^2} \Rightarrow h^2 + a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow h^2 = 3a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Xét hai đường thẳng $AB$ và $SC$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SC} = (-a,a,-a\sqrt{3})$

$\vec{AS} = (0,0,a\sqrt{3})$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}]|}{|\vec{AB} \times \vec{SC}|}$

Tính:

$\vec{AB} \times \vec{SC} = (0,\ a^2\sqrt{3},\ a^2)$

$|\vec{AB} \times \vec{SC}| = a^2\sqrt{3 + 1} = 2a^2$

$[\vec{AS}, \vec{AB}, \vec{SC}] = a^3\sqrt{3}$

Suy ra:

$d = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Đáp án A

Gọi I,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI, khi đó: d(A, (SBC)) =AH

Tam giác ABC đều cạnh a nên AI =  a 3 2

Khi đó xét tam giác SAI :

+ Ta có  S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒  N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là  S B A ^ = 60 °

⇒  SA = AB.tan 60 °  = 2a 3

AC =  A B 2 + B C 2 = 2 a 2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương  A B → ;   A C → ;   A S → .

I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →

Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0  

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra

169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .

Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .

Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .

Đáp án D

Đáp án C

Dựng  

Dựng

=> d(B;(SAC))

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a,0,0)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $\widehat{BAC} = 30^\circ$ ⇒

$AC = \dfrac{AB}{\cos 30^\circ} = \dfrac{a}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

Suy ra $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{\dfrac{4a^2}{3} - a^2} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$

⇒ $C(0, a/\sqrt{3}, 0)$

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy ⇒

$SA ⟂ (ABC)$ ⇒ $S = (a,0,h)$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}}$

Vậy:

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}} \cdot h = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$

Rút gọn:

$\dfrac{a^2 h}{6\sqrt{3}} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$

$\Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a,0,a/2)$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (-a, 0, -a/2)$

$\vec{SC} = C - S = (-a, a/\sqrt{3}, -a/2)$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & 0 & -a/2 \\ -a & a/\sqrt{3} & -a/2 \end{vmatrix} = (a^2/(2\sqrt{3}), 0, -a^2/\sqrt{3})$

$|\vec{n}| = \sqrt{\dfrac{a^4}{12} + \dfrac{a^4}{3}} = \sqrt{\dfrac{5a^4}{12}} = \dfrac{a^2 \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:

$\vec{AS} = A - S = (0,0,-a/2)$

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-a^2/\sqrt{3})(-a/2)|}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a^3/(2\sqrt{3})}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a}{\sqrt{5}} = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$

Vậy khoảng cách cần tìm là:

$d = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$

ĐÁP ÁN: B

ĐÁP ÁN: B