uh...

A B C D M

a/ Áp dụng BĐT ba điểm : 

\(AM+MB\ge AB\) ; \(BM+MC\ge BC\); \(CM+MD\ge CD\) ; \(DM+MA\ge DA\)

Cộng theo vế : \(2\left(MA+MB+MC+MD\right)\ge AB+BC+CD+DA\)

\(\Leftrightarrow MA+MB+MC+MD\ge\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

b/ Ta cũng áp dụng BĐT ba điểm :

\(AM+MC\ge AC\) ; \(BM+MD\ge BD\)

Cộng theo vế : \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD

Bạn hỏi tự vẽ hình nhá

a) Kẻ \(ME\perp AD,MF\perp BC,MG\perp AB,MH\perp CD\)

\(MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\)( cùng bằng \(ME^2+MG^2+MF^2+MH^2\))

b) Chứng mih tương tự=>kết quả không đổi. 

Ta có: \(MA^2+MC^2=MB^2+MD^2\)(cùng bằng \(ME^2=AE^2+MF^2+CF^2\))

Vậy khi điểm M nằm ngoài hình chữ nhật ABCD thì đẳng thức ở câu a) vẫn đúng.

Qua điểm M, kẻ đoạn thẳng HK vuông góc với AB và CD (H thuộc AB và K thuộc CD)

=> AHKD và HBCK là hcn

=> AH = DK và HB = KC

ABCD là hv \(\Rightarrow BM+MD=BD=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}\)

\(\Delta HAM\) vuông tại H \(\Rightarrow MA^2=AH^2+HM^2\left(ptg\right)=DK^2+HM^2\)

\(\Delta HBM\) vuông tại H \(\Rightarrow MB^2=HM^2+HB^2\left(ptg\right)\)

\(\Delta KMD\) vuông tại K \(\Rightarrow MD^2=KM^2+KD^2\left(ptg\right)\)

\(\Delta KMC\) vuông tại K \(\Rightarrow MC^2=KC^2+MK^2\left(ptg\right)=HB^2+MK^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(MB^2+MD^2\right)\ge\left(MB+MD\right)^2\)

\(\Rightarrow MB^2+MD^2\ge\dfrac{\left(MB+MD\right)^2}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2}=1\)

Ta có:

\(MA^2+MD^2+MB^2+MC^2\)

\(=\left(DK^2+HM^2\right)+\left(HM^2+HB^2\right)+\left(KM^2+KD^2\right)+\left(HB^2+MK^2\right)\)

\(=2\left(DK^2+KM^2\right)+2\left(HM^2+HB^2\right)\)

\(=2\left(MD^2+MB^2\right)\)

\(\ge2\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MA=MB=MC=MD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

a: ΔADC vuông tại D

=>\(DA^2+DC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2\)

=>AC=17(cm)

Xét ΔDAC vuông tại D có DM là đường cao

nên \(DM\cdot AC=DA\cdot DC\)

=>\(DM\cdot17=8\cdot15=120\)

=>\(DM=\frac{120}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔDCI vuông tại C có CM là đường cao

nên \(DM\cdot DI=DC^2\)

=>\(DI=15^2:\frac{120}{17}=225\cdot\frac{17}{120}=15\cdot\frac{17}{8}=\frac{255}{8}\left(\operatorname{cm}\right)\)

DM+MI=DI

=>\(MI=DI-DM=\frac{255}{8}-\frac{120}{17}=\frac{3375}{136}\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔADC vuông tại D có DM là đường cao

nên \(AM\cdot AC=AD^2\)

=>\(AM=\frac{8^2}{17}=\frac{64}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

AM+MC=AC

=>\(MC=17-\frac{64}{17}=\frac{289}{17}-\frac{64}{17}=\frac{225}{17}\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔMAN vuông tại M và ΔMCD vuông tại M có

\(\hat{MAN}=\hat{MCD}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔMAN~ΔMCD
=>\(\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}\) (1)

XétΔMAD vuông tại M và ΔMCI vuông tại M có

\(\hat{MAD}=\hat{MCI}\) (hai góc so le trong, AD//CI)

Do đó: ΔMAD~ΔMCI

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MI}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MN}{MD}=\frac{MD}{MI}\)

=>\(MN\cdot MI=MD^2\)

a: ΔADC vuông tại D

=>\(DA^2+DC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2\)

=>AC=17(cm)

Xét ΔDAC vuông tại D có DM là đường cao

nên \(DM\cdot AC=DA\cdot DC\)

=>\(DM\cdot17=8\cdot15=120\)

=>\(DM=\frac{120}{17}\) (cm)

Xét ΔCDI vuông tại C có CM là đường cao

nên \(CD^2=DM\cdot DI\)

=>\(DI=15^2:\frac{120}{17}=225\cdot\frac{17}{120}=\frac{15\cdot17}{8}=\frac{255}{8}\) (cm)

DM+MI=DI

=>MI=255/8-120/17=3375/136(cm)

b: Xét ΔADC vuông tại A có DM là đường cao

nên \(AM\cdot AC=AD^2\)

=>\(AM=\frac{8^2}{17}=\frac{64}{17}\) (cm)

AM+MC=AC

=>\(MC=17-\frac{64}{17}=\frac{225}{17}\) (cm)

c: Xét ΔMNA vuông tại M và ΔMDC vuông tại M có

\(\hat{MNA}=\hat{MDC}\) (hai góc so le trong, AN//DC)

Do đó; ΔMNA~ΔMDC

=>\(\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}\) (1)

Xét ΔMAD vuông tại M và ΔMCI vuông tại M có

\(\hat{MAD}=\hat{MCI}\) (hai góc so le trong, AD//CI)

Do đó: ΔMAD~ΔMCI

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MI}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{MN}{MD}=\frac{MD}{MI}\)

=>\(MD^2=MN\cdot MI\)