Lời giải:
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$|x-2020|+|x-2024|=|x-2020|+|2024-x|\geq |x-2020+2024-x|=4$

$|x-2022|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow |x-2020|+|x-2024|+|x-2022|\geq 4+0=4$

$\Rightarrow P\geq 4$

Vậy $P_{\min}=4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2020)(2024-x)\geq 0$ và $x-2022=0$

Hay $x=2022$

TH1: x<2019

=>x-2019<0; x-2020<0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=-x+2019-x+2020-x+2021-x+2022=-4x+8082

Vì hàm số M=-4x+8082 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<2019 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH2: 2019<=x<2020

=>x-2019>=0; x-2020<0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=x-2019-x+2020-x+2021-x+2022=-2x+4034

Vì hàm số M=-2x+4034 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi 2019<=x<2020 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH3: 2020<=x<2021

=>x-2019>0; x-2020>=0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=x-2019+x-2020+2021-x+2022-x=4(1)

TH4: 2021<=x<2022

=>x-2019>0; x-2020>0; x-2021>=0; x-2022<0

=>M=x-2019+x-2020+x-2021+2022-x=2x-4038

Vì hàm số M=2x-4038 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Với 2021<=x<2022 thì \(x_{\min}=2021\)

=>\(M_{\min}=2\cdot2021-4038=4042-4038=4\) (2)

TH5: x>=2022

=>x-2019>0; x-2020>0; x-2021>=0; x-2022>=0

=>M=x-2019+x-2020+x-2021+x-2022=4x-8082

Vì hàm số M=4x-8082 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=2022 thì \(x_{\min}=2022\)

=>\(M_{\min}=4\cdot2022-8082=8088-8082=6\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(M_{\min}=4\) khi 2020<=x<=2022

Lời giải:

Sử dụng BĐT sau:

Cho $a,b$ thực. Khi đó $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$. Áp dụng vào bài toán:

$|x-2018|+|x-2022|=|x-2018|+|2022-x|\geq |x-2018+2022-x|=4$

$|x-2020|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow A\geq 4+0=4$

Vậy GTNN của $A$ là $4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2018)(2022-x)\geq 0$ và $x-2020=0$

Hay khi $x=2020$

vì sao dấu "=" xảy ra khi ab ≥0 thế ạ ?

TH1: x<2020

=>x-2020<0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=-x+2020-x+2021-x+2022=-3x+6063

Vì hàm số M=-3x+6063 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<2020 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH2: 2020<=x<2021

=>x-2020>=0; x-2021<0; x-2022<0

=>M=x-2020+2021-x+2022-x=-x+2023

Vì hàm số M=-x+2023 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi 2020<=x<2021 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH3: 2021<=x<2022

=>x-2020>0; x-2021>=0; x-2022<0

=>M=x-2020+x-2021+2022-x=x-2019

Vì hàm số M=x-2019 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi 2021<=x<2022 thì \(x_{\min}=2021\)

=>\(M_{\min}=2021-2019=2\) (1)

TH4: x>=2022

=>x-2020>0; x-2021>0; x-2022>=0

=>M=x-2020+x-2021+x-2022=3x-6063

Vì hàm số M=3x-6063 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=2022 thì \(x_{\min}=2022\)

=>\(M_{\min}=3\cdot2022-6063=6066-6063=3\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(M_{\min}=2\) khi x=2021

Ta có: M = |x - 2018| + |x - 2019| + 2020

       M = |x - 2018| + |2019 - x| + 2020 \(\ge\)|x - 2018  + 2019 - x| + 2020 = |1| + 2020 = 2021

Dấu "=" xảy ra khi: x - 2018 + x - 2019 = 0

      <=> 2x - 4037 = 0

      <=> 2x = 4037

     <=> x = 2018,5

Vậy Min của M = 2021 tại x = 2018,5

Sửa lại một đoạn:

Dấu "=" xảy ra khi : (x - 2018)(2019 - x) = 0

      <=> 2018 \(\le\)x \(\le\)2019