Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với \(m=0\) hệ có nghiệm \(x=1\)
Với \(m\ne0\)
Xét \(x^2-2x+1-m\le0\) (1)
\(\Delta'=m\Rightarrow\) để (1) có nghiệm thì \(m>0\Rightarrow1-\sqrt{m}\le x\le1+\sqrt{m}\) (3)
Xét \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\) (2)
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m\right)=m+1\)
Với \(m>0\Rightarrow\) (2) có nghiệm \(m+1-\sqrt{m+1}\le x\le m+1+\sqrt{m+1}\) (4)
Khi \(m>0\Rightarrow m+1+\sqrt{m+1}>1+\sqrt{m}\)
\(\Rightarrow\) Để (3) giao (4) khác rỗng
\(\Leftrightarrow m+1-\sqrt{m+1}\le1+\sqrt{m}\)
\(\Leftrightarrow m-\sqrt{m}\le\sqrt{m+1}\)
- Với \(0< m\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VP>0\\VT\le0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng
- Với \(m>1\) bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}+m\le m+1\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m\sqrt{m}-1\le0\)
\(t=\sqrt{m}\Rightarrow t^4-2t^3-1\le0\)
Rất tiếc BPT này ko giải được ^.^
\(x^2-2x+1-m>0\) với mọi x \(\Leftrightarrow\Delta'< 0\Leftrightarrow1-1+m< 0\Leftrightarrow m< 0\)
Vậy để \(x^2-2x+1-m\le0\) với mọi x \(\Leftrightarrow m\ge0\)
Xét \(x^2-\left(2m+2\right)x+m^2+m\)
Để \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m>0\Leftrightarrow\Delta'< 0\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-m^2-m< 0\Leftrightarrow m< -1\)
Vậy để \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+m\le0\Leftrightarrow m\ge-1\)
Kết hợp lại ta có \(m\ge0\)
\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-m-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow m\le x\le m+1\)
Để hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+1\le m\left(1\right)\) có nghiệm thuộc \(\left[m;m+1\right]\)
\(\Leftrightarrow m\ge\min\limits_{\left[m;m+1\right]}\left(x^2-2x+1\right)\)
- TH1: \(m\le1\le m+1\Rightarrow0\le m\le1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(1\right)=0\Rightarrow m\ge0\Rightarrow0\le m\le1\)
- TH2: \(m>1\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[m;m+1\right]\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(m\right)=m^2-2m+1\)
\(\Rightarrow m\ge m^2-2m+1\Leftrightarrow m^2-3m+1\le0\)
\(\Rightarrow\frac{3-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp điều kiên \(\Rightarrow1< m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)
Vậy với \(0\le m\le\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) thì BPT đã cho có nghiệm
Xét \(x^2+2x+a=0\) (1) và \(x^2-4x-6a=0\) (2)
Do hệ số của \(x^2\) đều dương nên BPT đã cho có nghiệm khi (1) và (2) đều có nghiệm
Gọi các nghiệm của (1) và (2) lần lượt là \(x_1\le x_2;x_3\le x_4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1-\sqrt{1-a}\\x_2=-1+\sqrt{1-a}\\x_3=2-\sqrt{6a+4}\\x_4=2+\sqrt{6a+4}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=1-a\ge0\\\Delta'_2=4+6a\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{2}{3}\le a\le1\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_1=0\\x_3\le x_{1;2}\le x_4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=1\) thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'_2=0\\x_1\le x_{3;4}\le x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=-\dfrac{2}{3}\) thỏa mãn
TH3: khi \(-\dfrac{2}{3}< a< 1\) \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) và (2) đều có 2 nghiệm pb
Khi đó \(\left[{}\begin{matrix}D_1=\left[x_1;x_2\right]\\D_2=\left[x_3;x_4\right]\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(D_1\) và \(D_2\) giao nhau tại đúng 1 phần tử
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_4\\x_2=x_3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1-\sqrt{1-a}=2+\sqrt{6a+4}\left(vô-nghiệm\right)\\-1+\sqrt{1-a}=2-\sqrt{6a+4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=0\)
Vậy \(a=\left\{-\dfrac{2}{3};0;1\right\}\)