a: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m}{1}<>\frac{-1}{4\left(m+1\right)}\)

=>\(4m\left(m+1\right)<>-1\)

=>\(4m^2+4m+1<>0\)

=>\(\left(2m+1\right)^2<>0\)

=>2m+1<>0

=>m<>-1/2

\(\begin{cases}mx-y=1\\ x+4\left(m+1\right)y=4m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-1\\ x+4\left(m+1\right)\left(mx-1\right)=4m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=mx-1\\ x+\left(4m+4\right)\left(mx-1\right)=4m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-1\\ x+4m^2x-4m+4mx-4=4m\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=mx-1\\ x\left(4m^2+4m+1\right)=4m+4m+4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=mx-1\\ x\left(2m+1\right)^2=8m+4=4\left(2m+1\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{4}{2m+1}\\ y=mx-1=\frac{4m}{2m+1}-1=\frac{4m-2m-1}{2m+1}=\frac{2m-1}{2m+1}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì 4⋮2m+1 và 2m-1⋮2m+1

=>4⋮2m+1 và 2m+1-2⋮2m+1

=>4⋮2m+1 và -2⋮2m+1

=>2m+1∈Ư(2)

mà 2m+1 lẻ

nên 2m+1∈{1;-1}

=>2m∈{0;-2}

=>m∈{0;-1}

b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\frac{m+1}{2}<>\frac{3m+1}{m+2}\)

=>\(\left(m+1\right)\left(m+2\right)<>2\left(3m+1\right)\)

=>\(m^2+3m+2-6m-2<>0\)

=>\(m^2-3m<>0\)

=>m(m-3)<>0

=>m∉{0;3}

\(\begin{cases}\left(m+1\right)x+\left(3m+1\right)y=2-m\\ 2x+\left(m+2\right)y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(2m+2\right)x+\left(6m+2\right)y=4-2m\\ \left(2m+2\right)x+\left(m+2\right)\left(m+1\right)y=4\left(m+1\right)\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x\left(2m+2\right)+y\left(m^2+3m+2\right)-\left(2m+2\right)x-\left(6m+2\right)y=4\left(m+1\right)-4+2m\\ 2x+\left(m+2\right)y=4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\left(m^2-3m\right)=6m\\ 2x+\left(m+2\right)y=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=\frac{6}{m-3}\\ 2x=4-\left(m+2\right)\cdot y=4-\frac{6\left(m+2\right)}{m-3}=\frac{4m-12-6m-12}{m-3}=\frac{-2m-24}{m-3}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=\frac{6}{m-3}\\ x=\frac{-m-12}{m-3}\end{cases}\)

Để x,y nguyên thì 6⋮m-3 và -m-12⋮m-3

=>6⋮m-3 và -m+3-15⋮m-3

=>6⋮m-3 và -15⋮m-3

=>m-3∈ƯC(6;-15)

=>m-3∈Ư(3)

=>m-3∈{1;-1;3;-3}

=>m∈{4;2;6;0}

mà m∉{0;3}

nên m∈{2;4;6}

Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2y+3-m\\ 2x+y=3(m+2)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 2(2y+3-m)+y=3(m+2)\)

\(\Leftrightarrow y=m\)

\(\Rightarrow x=2y+3-m=2m+3-m=m+3\)

Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(m+3,m)$

\(\Rightarrow S=x^2+y^2=(m+3)^2+m^2=2m^2+6m+9\)

\(=2(m+\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}\geq \frac{9}{2}\)

Vậy \(S_{\min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow (m+\frac{3}{2})^2=0\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\)

Lời giải:

ĐKXĐ:..............

Nếu $y=0$ thì từ PT (1) suy ra $x=1$ (do $x\geq \frac{1}{2}$)

Thay vào PT(2) thấy không thỏa mãn (loại)

Nếu $y< 0$:

\(\frac{y}{\sqrt[3]{x-y}}=\sqrt{x^2-x-y}\geq 0\Rightarrow \sqrt[3]{x-y}< 0\Rightarrow x< y< 0\) (vô lý)

Do đó $y>0$

PT(1) \(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\sqrt[3]{x-y}=y\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}(\sqrt[3]{x-y}-1)+(\sqrt{x^2-x-y}-y)=0\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x-y}.\frac{x-y-1}{\sqrt[3]{(x-y)^2}+\sqrt[3]{x-y}+1}+\frac{(x+y)(x-y-1)}{\sqrt{x^2-x-y}+y}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y-1)\left[\frac{\sqrt{x^2-x-y}}{\sqrt[3]{(x-y)^2}+\sqrt[3]{x-y}+1}+\frac{x+y}{\sqrt{x^2-x-y}+y}\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\geq \frac{1}{2}; y>0$ nên $x-y-1=0$

$\Rightarrow x=y+1$

Thay vào PT(2):

\(2[(y+1)^2+y^2]-3\sqrt{2y+1}=11\)

\(\Leftrightarrow (2y+1)^2-3\sqrt{2y+1}=10\)

\(\Leftrightarrow t^4-3t=10(t=\sqrt{2y+1})\)

\(\Leftrightarrow (t-2)(t^3+2t^2+4t+5)=0\)

Với mọi $t\geq 0$ thì $t^3+2t^2+4t+5\neq 0$

Do đó $t-2=0\Rightarrow t=2\Rightarrow y=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow x=y+1=\frac{5}{2}$

Vậy..........

@Vũ Minh Tuấn @Trần Thanh Phương @Lê Thị Thục Hiền,... mọi nguwoif giúp mk với

@Akai Haruma cô giúp em với ạ

@Nguyễn Việt Lâm thầy giúp em với ạ