Câu hỏi của Nguyễn Bảo Châu

Question

$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$ với a > 0, b> 0

chứng minh biểu thức trên.

mỹ phạm · Accepted Answer

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :

$a+b\ge2\sqrt{ab}$ ( 1 )

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :

$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$

$\Rightarrow$ đpcm

Câu trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :

$a+b\ge2\sqrt{ab}$ ( 1 )

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :

$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$

$\Rightarrow$ đpcm

Akai Haruma · Answer

Lời giải:

Với $a,b>0$:

$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b).\frac{a+b}{ab}\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó BĐT trên được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$