Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{2z+x+y}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+2.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+y+z+x+2y+z+2z+x+y}-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(=6.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{18}{4.\dfrac{3}{4}}-\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=9\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{4}\)
a) ab+bc+ca\(\le\dfrac{\left(a+c+b\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3ab+3bc+3ac\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b,c\)
a: \(=x-\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y=\sqrt{xy}\)
b: \(=\dfrac{1+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
b, \(x^3+3x^2y-4y^3+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2y+4x^2y-4xy^2+4xy^2-4y^3+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+4xy\left(x-y\right)+4y^2\left(x-y\right)+\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+4xy+4y^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Khi đó pt (2) của hệ trở thành:
\(\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+7x+12\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2-1=24\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2-5^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right)\left(x^2+5x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)
Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right),\left(-5;-5\right)\right\}\)
Giải xàm tí ạ!\(VT-VP=\frac{1}{2}\left[\left(x^2-3x+1\right)^2+\left(y^2-3y+1\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(5-x-y\right)\left(x+y-1\right)\right]\ge0\)
=> qed
??? KHang ơi! Sai rồi ? Tại sao VT - Vp = 1/2. Dòng thứ 2 ???
Nguyễn Linh Chi còn khúc dưới nữa mà cô, tại nó dài quá nên olm ko hiển thị hết trng một dòng. Mà bài đó em cũng làm xàm:)
Ôi mà ơi, em cứ hay suy nghĩ cao xa:(( Hèn gì giải không ra. đáp án bên AoPS khá đơn giản như sau:
\(VT-VP=3\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)-2\left(x^2y^2-xy+1\right)\)
Ta có: \(\Delta=\left(3y^2-5y+3\right)^2-4\left(y^2-3y+3\right)\left(3y^2-3y+1\right)\)
\(=-3\left(y^2-3y+1\right)^2\le0\). Từ đó ta có đpcm.
Các bác bên AoPS kinh thật, cách phân tích ảo diệu quá@@, em chụp ảnh lại nha!
Thêm một ý tưởng được buff từ cách trước:D
\(VT-VP\)
\(=\frac{\left[2\left(y^2-3y+3\right)x-3y^2+5y-3\right]^2+3\left(y^2-3y+1\right)^2}{4\left(y^2-3y+3\right)}\ge0\)
Chúng ta có đpcm:))
P/s: Thực ra nó tương tự cách dùng \(\Delta\) nhưng đơn giản là em "hô biến" cho nó thành kiểu khác:D Dễ hiểu hơn là trình bày kiểu khác:D
Buff thêm 1 cách nữa cho nó oách:)
\(VT-VP=\frac{1}{4}\left(3x+3y-2xy-2\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2\ge0\) (ngạc nhiên chưa:V)
Bài này có thể viết dưới dạng SOS dao lam như sua:
\(VT-VP=\left(3x+3y-2xy-2\right)^2-3\left(xy-x-2y+1\right)\left(xy-2x-y+1\right)\)
\(VT-VP=\left(x-y\right)^2+\left(xy-x-2y+1\right)\left(xy-2x-y+1\right)\)
Từ đây ta hoàn toàn có thể biểu diễn VT -VP dưới dạng hai bình phương không âm như đã làm bên trên (bằng cách nhân 3 vào cái đẳng thức phía dưới rồi cộng với đẳng thức phía trên, tất cả đem chia cho 4:)!
Trong khi tìm tài liệu trên mạng thì em thấy có cách cũng khá hay:)
\(bđt\Leftrightarrow3\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)-2\left(x^2y^2-xy+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^2-3x+3\right)\left(y^2-y+1\right)-2x^2+2xy-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(3y^2-3y+3\right)+\left(5y-3y^2-3\right)x+3y^2-3y+1\ge0\)
Ta có:
\(\Delta_x=-3\left(y^2-3y+1\right)^2\le0\)
P/S:Xem ra chả khác cách tth là mấy:((
zZz Cool Kid zZz vãi ra, copy trên AoPS với cách của t chứ giề -_- chả qua là you trình bày cho nó dài ra thôi =.=
tth_new t ko có copy trên AoPS nha ! Chỉ là đang tìm tài liệu thì thấy bài này thôi à:(
zZz Cool Kid zZz Vậy cho t xem link tìa liệu mà có bài này nào:)) Bài giải bên AoPS t đã đăng phía dưới r mà?
tth_new Không tin t hả.Rồi!T sẽ cm cho you xem:(
Không cãi nữa chứ ?
Được chưa ?
zZz Cool Kid zZz OK, OK nhưng có gì khác cách t đâu mà you bảo cách khác làm t choáng với kỹ năng BĐT của you:v
À thì t hok ngu BĐT nên mới tìm hiểu mạng mà.Làm sao mà bằng bạn dc.Nếu mik tự nhiên làm như thek thì bạn ns cũng dc đấy.Nhưng mik đã ns là dò mạng thấy r mà.Mik lm BĐT sao mà bằng bạn dc:(
Hướng bạn ko khác gì hướng bài của mik.Nhưng khác chỗ delta mà:(
coolkid khác mỗi cái delta của you có thêm chữ x mà cũng bảo khác-_-
Mik làm có gì đâu mak làm bạn phải choáng nhỉ ? Chắc lak kỹ năng kém quá hay copy ? Thek lần sau ko nên chơi mấy bài này vậy.Mang tiếng ra:((
coolkid tiếng tăm gì, ý là you giỏi hơn t cả vạn lần ý-_- thôi đóng cmt tại đây, ko cãi nữa-_-
Đôi khi chơi trâu bò kiểu này cũng khá hay và thoải mái:D
Đặt \(y=a+x\) và xét hiệu hai vế, BĐT quy về:
\(\left(x^2-3x+3\right)a^2+\left(2x^3-9x^2+11x-3\right)a+\left(x^4-6x^3+11x^2-6x+1\right)\ge0\)
\(\Delta_a=-3\left(x^2-3x+1\right)^2\le0\) vậy...
*Chú ý:
\(VT=\left(x^2-3x+3\right)\left(a+\frac{2x^3-9x^2+11x-3}{2\left(x^2-3x+3\right)}\right)^2+\frac{3\left(x^2-3x+1\right)^2}{4\left(x^2-3x+3\right)}\)
\(=\frac{\left[2\left(x^2-3x+3\right)a+2x^3-9x^2+11x-3\right]^2+3\left(x^2-3x+1\right)^2}{4\left(x^2-3x+3\right)}\)
Thay a = y - x vào ta tìm được cách phân tích khác:D