a: Vì Δ//d nên Δ: 3x-4y+c=0

Thay x=1 và y=4 vào Δ, ta được:

c+3-16=0

=>c=13

b: Vì Δ vuông góc d nên Δ: 4x+3y+c=0

Thay x=-3 và y=-5 vào Δ, ta được:

c+4*(-3)+3(-5)=0

=>c-27=0

=>c=27

=>4x+3y+27=0

a.

Gọi \(M\left(x;y\right)\in d\)

\(\Rightarrow d\left(M;\Delta\right)=3\Leftrightarrow\dfrac{\left|3x-4y+6\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-4y+6\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-4y+21=0\\3x-4y-9=0\end{matrix}\right.\)

b.

Giả sử đường thẳng (d2) có dạng \(a\left(x+2\right)+b\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a-3b=0\) (1)

\(\dfrac{\left|3.a-4b\right|}{5\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow2\left(3a-4b\right)^2=25a^2+25b^2\)

\(\Leftrightarrow7a^2+48ab-7b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7a=b\\a=-7b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(1;7\right);\left(7;-1\right)\)

\(\Rightarrow...\) (bạn tự thế vào (1) và rút gọn)

• Đường thẳng AB:
• • Vectơ chỉ phương (VTCP): \(\overrightarrow{AB} = (3 - 2; 1 - 4) = (1; -3)\).
  • Vectơ pháp tuyến (VTPT): \(\vec{n}_{AB} = (3; 1)\).
  • Phương trình tổng quát đi qua \(A(2; 4)\):
    \(3(x-2)+1(y-4)=0\iff \mathbf{3x+y-10=0}\)
• Đường thẳng BC:
• • Vectơ chỉ phương (VTCP): \(\overrightarrow{BC} = (1 - 3; 4 - 1) = (-2; 3)\).
  • Vectơ pháp tuyến (VTPT): \(\vec{n}_{BC} = (3; 2)\).
  • Phương trình tổng quát đi qua \(B(3; 1)\):
    \(3(x-3)+2(y-1)=0\iff \mathbf{3x+2y-11=0}\)
• Đường thẳng CA:
• • Nhận xét nhanh: Điểm \(A(2; 4)\) và \(C(1; 4)\) có cùng tung độ bằng \(4\). Do đó, CA là một đường thẳng nằm ngang.
  • Phương trình tổng quát: \(\mathbf{y-4=0}\)

• Vì \((\Delta) \parallel BC\) nên \((\Delta)\) nhận VTPT của \(BC\) làm VTPT: \(\vec{n}_{\Delta} = \vec{n}_{BC} = (3; 2)\).
• Phương trình \((\Delta)\) đi qua \(A(2; 4)\):
  \(3(x-2)+2(y-4)=0\iff \mathbf{3x+2y-14=0}\)

• Vì \((\Delta) \perp AC\) nên \((\Delta)\) nhận VTCP của \(AC\) (hoặc \(CA\)) làm VTPT.
• Ta có \(\overrightarrow{CA} = (2-1; 4-4) = (1; 0) \implies \vec{n}_{\Delta} = (1; 0)\).
• Phương trình \((\Delta)\) đi qua \(B(3; 1)\):
  \(1(x-3)+0(y-1)=0\iff \mathbf{x-3=0}\)

• Lấy phương trình (1) trừ phương trình (3): \(-2a = -3 \iff a = \frac{3}{2}\)
• Thay \(a = \frac{3}{2}\) vào (1) và (2) để tìm \(b\) và \(c\), ta được kết quả: \(b = \frac{11}{6}\) và \(c = \frac{2}{3}\).

Đường thẳng \(\Delta\) nhận (3;-4) là 1 vtpt

a. Do \(d_1||\Delta\) nên \(d_1\) cũng nhận (3;-4) là 1 vtpt

Phương trình d1:

\(3\left(x-2\right)-4\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow3x-4y+14=0\)

b. Do d2 vuông góc \(\Delta\) nên d2 nhận (4;3) là 1 vtpt

Phương trình d2:

\(4\left(x-2\right)+3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-23=0\)

Vì hai đường thẳng \(\Delta \) và d song song với nhau nên ta có thể chọn \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Mặt khác, \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\)nên phương trình \(\Delta \) là:

\(3\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 11 = 0\).

a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {5; - 3} \right)\), nên ta có phương trình tham số của \(\Delta \) là :

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

\(3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 8 = 0\)

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\), nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 7t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n  = \left( {7;2} \right)\) và đi qua \(O(0;0)\)

Ta có phương trình tổng quát là

\(7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 7x + 2y = 0\)

c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = ( - 4;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (3;4)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(3(x - 4) + 4(x - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0\)

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 3\sqrt 2 \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {{n_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng a là:

\(1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).Từ đó suy ra \(\overrightarrow {{n_b}}  = \left( {1; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng b là:

\(1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)

B

B