Do đường tròn (C) đi qua M, N nên tâm I của đường tròn nằm trên trung trực của MN

Gọi P là trung điểm MN \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{NM}=\left(1;-2\right)\\P\left(\dfrac{3}{2};2\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình trung trực \(d_1\) của MN vuông góc MN và qua P có dạng

\(1\left(x-\dfrac{3}{2}\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+\dfrac{5}{2}=0\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ I là nghiệm: 

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+7y+1=0\\x-2y+\dfrac{5}{2}=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow I\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow R^2=IM^2=\left(2+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(1-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

Phương trình:

\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

a) Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) Bán kính đường tròn là: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\)

c) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {5.1 - 12.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}\)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}\)

d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( {1;1} \right)\)

Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {29} \)

Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 29\)

e) Giả sử  tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\)  b

Vậy \(I\left( {2;3} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

Đường thẳng Δ song song với d ⇒ Δ: x + y + c = 0, (c ≠ 0)

Vì Δ đi qua A ⇒ 3 + 0 + c = 0 ⇒ c = -3(tm)

Vậy đường thẳng Δ có dạng: x+y-3=0

Vì đường tròn có tâm I thuộc d nên I(a;-a)

Vì đường tròn đi qua A, B nên I A 2  = I B 2  ⇒ (3 - a ) 2  + a 2  = a 2  + (2 + a ) 2  ⇔ (3 - a ) 2  = (2 + a ) 2

Vậy phương trình đường tròn có dạng:

Ta có: 

Giả sử elip (E) có dạng:

Vì (E) đi qua B nên:

Mà

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:

Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm I của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm M(2 ; 1), mà điểm M này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm I phải là số dương.

x_I= y_I > 0

gọi x_I= y_I = a. Như vậy phương trình đường tròn cần tìm là :

(2 – a)² + (1 – a)²  = a²

a²  – 6a + 5 = 0  => a = 1 hoặc a = 5

Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện

+ Với a = 1 => (C₁)   => (x – 1 )² + (y – 1)²  = 1

x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0

+ Với a = 1 => (C₂)   => (x – 5 )² + (y – 5)²  = 25

x² + y² – 10x – 10y + 25 = 0

Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì. có bán kính là:

R= IM =  3 2 + ( - 1 ) 2 = 10

Khi đó có phương trình là: (x+ 1) ²+ ( y-2) ²=10

Hay x²+ y²+ 2x - 4y - 5= 0.

Chọn B.

câu a

a: Phương trình (C) là:

\(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2=R^2=9\)

b: Gọi tâm là I(x;0)

I(x;0); A(-1;1); B(3;3)

\(IA^2=\left(-1-x\right)^2+\left(1-0\right)^2=\left(x+1\right)^2+1\)

\(IB^2=\left(3-x\right)^2+\left(3-0\right)^2=\left(x-3\right)^2+9\)

IA=IB

=>\(\left(x+1\right)^2+1=\left(x-3\right)^2+9\)

=>\(x^2+2x+1+1=x^2-6x+9+9\)

=>2x+2=-6x+18

=>8x=16

=>x=2

=>I(2;0)

I(2;0); A(-1;1)

\(IA^2=\left(-1-2\right)^2+\left(1-0\right)^2=\left(-3\right)^2+1^2=9+1=10\)

Phương trình đường tròn tâm I, bán kính IA là:

\(\left(x-2\right)^2+\left(y-0\right)^2=IA^2\)

=>\(\left(x-2\right)^2+y^2=10\)

Đường tròn đi qua M,N có tâm nằm trên trung trực của MN.

Đường trung trực của MN qua trung điểm H(-3/2;5/2) và nhận \(\overrightarrow{MN}\)(1;-1) làm VTPT nên có phương trình (x+3/2)-(y-5/2)=0, tức là x-y+4=0

Vậy tâm I là nghiệm hệ \(\begin{cases}x-y+4=0\\3x-y+10=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=1\end{cases}}\). Vậy I(-3;1), từ đó suy ra R=IM và phương trình của đường tròn

khó vãi