\(x^2-5x+4\le0\)

=>(x-1)(x-4)<=0

=>1<=x<=4

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x^2-2x-\left(m^2+1\right)x+2\left(m^2+1\right)\)

\(=x\left(x-2\right)-\left(m^2+1\right)\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left\lbrack x-\left(m^2+1\right)\right\rbrack\)

\(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

=>\((x - 2)(x - (m^2 + 1)) \le 0\)

TH1: \(m^2+1=2\)

=>(x-2)(x-2)<=0

=>x=2

=>S=[1;4]\(\cap\) {2}={2}

=>Loại

TH2: \(m^2+1>2\)

=>\(m^2>1\)

=>m>1 hoặc m<-1

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>2<=x<=\(m^2+1\)

=>S=[1;4]\(\cap\) [2;\(m^2+1\) ]

Để đoạn giao nhau có độ dài bằng 1 thì \(\left(m^2+1\right)-2=1\)

=>\(m^2=2\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m=\sqrt2\left(nhận\right)\\ m=-\sqrt2\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

TH3: \(m^2+1<2\)

=>\(m^2<1\)

=>-1<m<0

\((x-2)(x-(m^2+1))\le0\)

=>\(m^2+1\le x\le2\)

Độ dài của tập nghiệm là: \(2 - (m^2 + 1) = 1 - m^2\)

Theo đề, ta có: \(1-m^2=1\iff m^2=0\iff m=0\) (nhận)

\(x\left(x-m^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge m^2+1\end{matrix}\right.\)

Để S và tập (5;10) có phần tử chung

\(\Leftrightarrow m^2+1< 10\)

\(\Rightarrow-3< m< 3\)

Xét \(x^2-5x+4\le0\Leftrightarrow1\le x\le4\Rightarrow D_1=\left[1;4\right]\)

Xét \(x^2-\left(m^2+3\right)x+2\left(m^2+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-m^2-1\right)\le0\)

- Nếu \(\left|m\right|\ge1\Rightarrow D_2=\left[2;m^2+1\right]\)

- Nếu \(\left|m\right|< 1\Rightarrow D_2=\left[m^2+1;2\right]\)

Do \(2\in\left[1;4\right]\), để \(D=D_1\cap D_2\) là 1 đoạn có độ dài bằng 1

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+1=1\\m^2+1=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\pm\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Chắc đề đúng là \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-m\le0\)

Để BPT đã cho có tập nghiệm \(S=\left[a;b\right]\) hữu hạn thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2+4m\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)

Khi đó a; b sẽ là nghiệm của pt bậc 2

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-2\\ab=\frac{m}{1-m}\end{matrix}\right.\)

\(a^2+b^2+ab=6\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-ab-6=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{m}{m-1}-2=0\Rightarrow m=2\)

ĐKXĐ: \(x\left(x+1\right)\left(x-3\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1\le x\le0\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x-2\right)\sqrt{x\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2\le0\\\sqrt{x\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le2\\x=-1\\x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được: \(\left[{}\begin{matrix}-1\le x\le0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=5\)