75 cm trên bản vẽ ứng với 2,5 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.

Gọi M là điểm trên vòm ô thoáng, có hoành độ 2,5 và tung độ là h.

M thuộc elip nên \(\frac{{2,{5^2}}}{{16}} + \frac{{{h^2}}}{4} = 1\)

\(\Leftrightarrow h = \sqrt {4.\left( {1 - \frac{{2,{5^2}}}{{16}}} \right)}  = \frac{{\sqrt {39} }}{4} \approx 1,56\)

Vậy độ cao h trên thực tế là: \(h = 1,56.30 = 46,8\) cm

a: B(-2;3); C(1;-1)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(1+2;-1-3\right)=\left(3;-4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (4;3)

Phương trình BC là:

4(x-1)+3(y+1)=0

=>4x-4+3y+3=0

=>4x+3y-1=0

b: A(1;2); BC: 4x+3y-1=0

Khoảng cách từ A đến BC là:

\(d\left(A;BC\right)=\frac{\left|1\cdot4+2\cdot3-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|4+6-1\right|}{5}=\frac95\)

c: Gọi H là giao điểm của A'A và BC

A' đối xứng A qua BC

=>BC là đường trung trực của A'A

=>BC⊥A'A tại H và H là trung điểm của BC

BC: 4x+3y-1=0

mà AH⊥BC

nên AH sẽ đi qua A(1;2) và nhận \(\overrightarrow{m}=\left(4;3\right)\) làm vecto chỉ phương

=>vecto pháp tuyến là (-3;4)

Phương trình AH là:

-3(x-1)+4(y-2)=0

=>-3x+3+4y-8=0

=>-3x+4y-5=0

=>3x-4y+5=0

Tọa độ H là:

\(\begin{cases}4x+3y-1=0\\ 3x-4y+5=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x+3y=1\\ 3x-4y=-5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}12x+9y=3\\ 12x-16y=-20\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}12x+9y-12x+16y=3+20\\ 4x+3y=1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}25y=23\\ 4x=1-3y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0,92\\ 4x=1-3\cdot0,92=-1,76\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=0,92\\ x=-0,44\end{cases}\)

=>H(-0,44; 0,92)

A(1;2); H(-0,44;0,92); A'(x;y)

H là trung điểm của A'A

=>\(\begin{cases}x+1=2\cdot\left(-0,44\right)=-0,88\\ y+2=2\cdot0,92=1,84\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1,88\\ y=-0,16\end{cases}\)

=>A'(-1,88;-0,16)

a) Phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)

b) Khoảng cách từ tâm I đến A là: \(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Do \(IA < 3\) nên điểm A nằm trong đường tròn ranh giới. Vậy nên người A có thể dịch vụ của trạm.

c) Khoảng cách từ tâm I đến B là: \(IB = \sqrt {{{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \)

Khoảng cách ngắn nhất theo đường chim bay để 1 người ở B di chuyển đến vùng phủ sóng là:

\(IB - R = \sqrt {10}  - 3\left( {km} \right)\)

a: B(-2;3); C(1;-1)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(1+2;-1-3\right)=\left(3;-4\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (4;3)

Phương trình BC là:

4(x-1)+3(y+1)=0

=>4x-4+3y+3=0

=>4x+3y-1=0

b: A(1;2); BC: 4x+3y-1=0

Khoảng cách từ đỉnh A đến BC là:

\(d\left(A;BC\right)=\frac{\left|1\cdot4+2\cdot3-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|4+6-1\right|}{\sqrt{25}}=\frac95\)

a) Do MH vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nên ta có vecto chỉ phương của MH là: \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\)

b) Phương trình tham số của đường thẳng MH đi qua \(M\left( { - 1;1} \right)\) có vecto chỉ phương\(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

c) H là giao điểm của MH và đường thẳng \(\Delta \)

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\2x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\) . Vậy tọa độ điểm H là: \(H\left( {1;2} \right)\)

Độ dài đoạn thẳng MH là: \(MH = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \)

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \(\Delta \) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0 - 2 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 3\sqrt 2 \).

b) Ta có: \(\overrightarrow {{n_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng a là:

\(1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_a}}  = \overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1;1} \right)\).Từ đó suy ra \(\overrightarrow {{n_b}}  = \left( {1; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng b là:

\(1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right)\)

\(\cos \widehat {ABC} = \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\left( { - 7} \right).3 + 1.3}}{{\sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2}} }} =  - \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {126^o}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right),\overrightarrow {BA}  = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 10; - 2} \right)\)

Suy ra: \(\begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{3^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 2 \\AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {104} \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {50} \end{array}\)

Vậy chu vi tam giác ABC là: \({P_{ABC}} = 2\sqrt {26}  + 8\sqrt 2 \)

c) Để diện tích của tam giác ABC bằng hai lần diện tích của tam giác ABM thì M phải là trung điểm BC.

Vậy tọa độ điểm M là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{ - 9}}{2}\\\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{3}{2}\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {\frac{{ - 9}}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

Đáp án A

a: A(1;1); C(3;-1)

=>\(\overrightarrow{AC}=\left(3-1;-1-1\right)=\left(2;-2\right)\)

Δ//AC nên Δ nhận \(\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)\) làm vecto chỉ phương

=>Vecto pháp tuyến là (1;1)

Phương trình Δ đi qua B(2;3) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)\) làm vecto pháp tuyến là:

1(x-2)+1(y-3)=0

=>x-2+y-3=0

=>x+y-5=0