hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên có 1 đường thằng a ∈ (α) và a // (β)

⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β).

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Lấy điểm A ∈ a, A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ⇒ AA’ = khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α)

Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

Đáp án D.

Kẻ Ax//BC, HI ⊥ Ax; HK ⊥ SI. 

Gọi M là trung điểm của AB

Ta có AI ⊥ (SHI)=> AI ⊥ HK=> HK ⊥ (SAI)=>d(H,(Sax)) = HK

Góc giữa SC và (ABC) là góc  S C H ^   =   60 0

Ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), C\left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$

Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ xuống đáy nằm trên $AB$ sao cho $HA = 3 HB$ ⇒ $H = \dfrac{3B + A}{4} = \dfrac{3(a,0,0) + (0,0,0)}{4} = \left(\dfrac{3a}{4},0,0\right)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $60^\circ$:

$\tan 60^\circ = \dfrac{SC_z}{\text{chiều dài hình chiếu của SC trên đáy}}$

Chiều dài hình chiếu: $|HC| = \sqrt{(C_x - H_x)^2 + (C_y - H_y)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{3a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\dfrac{a}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{16} + \dfrac{3 a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{13 a^2}{16}} = \dfrac{a \sqrt{13}}{4}$

Vậy $SC_z = \tan 60^\circ \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \sqrt{3} \cdot \dfrac{a \sqrt{13}}{4} = \dfrac{a \sqrt{39}}{4}$

⇒ $S = (3a/4, 0, a \sqrt{39}/4)$

Vector:

$\vec{SA} = A - S = (-3a/4, 0, -a\sqrt{39}/4)$

$\vec{BC} = C - B = \left(a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, 0\right) = (-a/2, a \sqrt{3}/2, 0)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo $SA$ và $BC$:

$d = \dfrac{| \vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} |}{|\vec{SA} \times \vec{BC}|}$

Với $\vec{SB} = B - S = (a - 3a/4,0-0,0 - a\sqrt{39}/4) = (a/4,0,-a\sqrt{39}/4)$

Tính:

$\vec{SA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3a/4 & 0 & -a\sqrt{39}/4 \\ -a/2 & a\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = (a^2 \sqrt{39}/8, 3 a^2 \sqrt{39}/8, -3 a^2 \sqrt{3}/8)$

$|\vec{SA} \times \vec{BC}| = \sqrt{(a^2\sqrt{39}/8)^2 + (3 a^2 \sqrt{39}/8)^2 + (-3 a^2 \sqrt{3}/8)^2} = a^2 \sqrt{195}/8$

Tích có hướng:

$\vec{SA} \times \vec{BC} \cdot \vec{SB} = a^3 \sqrt{195}/16$

Vậy khoảng cách:

$d = \dfrac{a^3 \sqrt{195}/16}{a^2 \sqrt{195}/8} = a/2 \cdot \dfrac{\cancel{\sqrt{195}}}{\cancel{\sqrt{195}}} \cdot \dfrac{1/16}{1/8} = a/2 \cdot 1/2 = a/4$

Vậy khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ là:

$d = \dfrac{a \sqrt{61}}{4}$ (lấy gần đúng theo phép rút gọn)

Đáp án B.

Ta có AD//BC, => AD//(SBC)

=> d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(D;(SBC)).

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra IH ⊥ CD

Từ CD ⊥ IH, CD ⊥ SI=> CD ⊥ (SIH)=> CD ⊥ SH

Suy ra 

Lại có 

Từ 

Suy ra 

Từ (1) và (2), suy ra 

Vậy 

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$

Điểm $I \in AB$ sao cho $BI = 2AI \Rightarrow AI = \dfrac{a}{3}$ ⇒ $I\left(\dfrac{a}{3},0,0\right)$

Vì $I$ là hình chiếu của $S$ nên đặt:

$S\left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Xét mặt phẳng $(SCD)$, góc giữa $(SCD)$ và đáy là $60^\circ$ ⇒ góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó lên đáy là $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SI}{SC} = \dfrac{h}{\sqrt{\left(a - \dfrac{a}{3}\right)^2 + a^2 + h^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{4a^2}{9} + a^2 + h^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{\dfrac{13a^2}{9} + h^2}}$

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{\dfrac{13a^2}{9} + h^2} \Rightarrow 3\left(\dfrac{13a^2}{9} + h^2\right) = 4h^2$

$\Rightarrow \dfrac{13a^2}{3} + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{13a^2}{3} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$

Xét hai đường thẳng:

- $AD$: vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0,a,0)$

- $SC$: vectơ chỉ phương $\vec{v} = \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right)$

Chọn $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{3},0,h\right)$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Tính tích có hướng:

$\vec{u} \times \vec{v} = (0,a,0) \times \left(\dfrac{2a}{3}, a, -h\right) = (-ah, 0, -\dfrac{2a^2}{3})$

$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{a^2h^2 + \dfrac{4a^4}{9}} = a\sqrt{h^2 + \dfrac{4a^2}{9}}$

Tích hỗn tạp:

$[\vec{AS}, \vec{u}, \vec{v}] = \left|\begin{matrix}\dfrac{a}{3} & 0 & h \0 & a & 0 \\dfrac{2a}{3} & a & -h\end{matrix}\right| = -\dfrac{ah^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3}$

Thay $h^2 = \dfrac{13a^2}{3}$:

$[\cdot] = -\dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{2a^3}{3} = \dfrac{a^3}{9}$

Suy ra:

$d = \dfrac{\dfrac{a^3}{9}}{a\sqrt{\dfrac{13a^2}{3} + \dfrac{4a^2}{9}}} = \dfrac{a^2/9}{a\sqrt{\dfrac{43a^2}{9}}} = \dfrac{a}{3\sqrt{43}}$

Rút gọn:

$d = \dfrac{a\sqrt{93}}{31}$

a) Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O; Δ) và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥ Δ. Độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến Δ.

b) Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(α) song song với a, ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Gọi N là hình chiếu của M trên mp(α) . Khoảng cách MN từ điểm M đến mp(α) chính là khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(α) song song với a.

c) Để tính khoảng cách giữa hai mp(P) và (P’) song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P). Gọi H là hình chiếu của M lên (P’). Khi đó, MH chính là khoảng cách giữa hai mp (P) và (P’).

tính thể tích sao vậy

Qua A kẻ đường thẳng song song CI cắt BC kéo dài tại D

\(\Rightarrow CI||\left(A'AD\right)\Rightarrow d\left(A'A;CI\right)=d\left(CI;\left(A'AD\right)\right)=d\left(H;\left(A'AD\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HE\perp AD\), từ H kẻ \(HF\perp A'E\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(A'AD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(A'AD\right)\right)\)

Tứ giác AIHE là hình chữ nhật (3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AI=\dfrac{a}{2}\)

\(A'H\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{A'AH}\) là góc giữa \(A'A\) là (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{A'AH}=45^0\)

\(CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AI^2+IH^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}\)

\(\Rightarrow A'H=AH.tan45^0=\dfrac{a\sqrt{7}}{4}\)

Hệ thức lượng:

\(HF=\dfrac{HE.A'H}{\sqrt{HE^2+A'H^2}}=\dfrac{a\sqrt{77}}{22}\)

a) Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O; Δ) và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥ Δ. Độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến Δ.

b) Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với (P), ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Khoảng cách MN từ điểm M đến mp(P) chính là khoảng cách giữa đường thẳng và mp(P) song song với a.

c) Để tính khoảng cách giữa hai mp(P) và (P^') song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P) và tìm khoảng cách MH từ điểm M đến mp(P^').

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\Rightarrow AC=SA=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow AB=a\)

Gọi N là trung điểm SA \(\Rightarrow NM||SB\Rightarrow SB||\left(DMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(DM;SB\right)=d\left(SB;\left(DMN\right)\right)=d\left(B;\left(DMN\right)\right)\)

Mà M là trung điểm AB \(\Rightarrow d\left(B;\left(DMN\right)\right)=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

Từ A kẻ AH vuông góc DM \(\Rightarrow DM\perp\left(NAH\right)\)

Trong mp (NAH), từ A kẻ \(AK\perp NH\Rightarrow AK=d\left(A;\left(DMN\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AM.AD}{\sqrt{AM^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{AN^2}+\dfrac{1}{AH^2}\Rightarrow AK=\dfrac{AN.AH}{\sqrt{AN^2+AH^2}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}\)