Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a chia hết cho b (ký hiệu {\displaystyle a~\vdots ~b}), hay b là ước của a (ký hiệu {\displaystyle b\mid a}). Khi đó người ta cũng gọi a là bội số (hay đơn giản là bội) của b, còn b là ước số (hay đơn giản là ước) của a.

Ví dụ: 15 = 3.5, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15.

Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, mọi số nguyên đều chia hết cho 1, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n là số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.

Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số.

Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n. Số nguyên tố thì không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm thường của n.

Định lý về phép chia có dư[sửa | sửa mã nguồn]

Cho a, b là hai số nguyên (b khác 0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2;...; |b|-1. (Ký hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.)

Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

a) Nếu {\displaystyle a~\vdots ~b} và {\displaystyle b~\vdots ~c} thì {\displaystyle a~\vdots ~c}.

b) Nếu {\displaystyle a~\vdots ~b}, {\displaystyle a~\vdots ~c}và ƯCLN(b, c)=1 thì {\displaystyle a~\vdots ~bc}.

c) Nếu {\displaystyle ab~\vdots ~c} và ƯCLN(b,c)=1 thì {\displaystyle a~\vdots ~c}.

d) Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n≥1).

Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau từng đôi một. Trong đó có duy nhất một số dư bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n.

e) Nếu {\displaystyle a~\vdots ~m} và {\displaystyle b~\vdots ~m} thì {\displaystyle (a+b)~\vdots ~m} và {\displaystyle (a-b)~\vdots ~m}.

Chứng minh: Vì {\displaystyle a~\vdots ~m} nên a=m.n₁, vì {\displaystyle b~\vdots ~m} nên b=m.n₂ (n₁, n₂ là các số nguyên). Vậy a+b=m.(n₁+n₂) mà (n₁+n₂) là số nguyên nên {\displaystyle (a+b)~\vdots ~m}.

Định lý cơ bản của số học[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cơ bản của số học (hay định lý về sự phân tích duy nhất ra các thừa số nguyên tố) phát biểu như sau: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố, chẳng hạn

{\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!}

{\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}.\,\!}

Một cách tổng quát: Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

{\displaystyle n={p_{1}}^{\alpha _{1}}{p_{2}}^{\alpha _{2}}{\dots }{p_{k}}^{\alpha _{k}}}

trong đó {\displaystyle {p_{1}},{p_{2}},,{\dots },{p_{k}}} là các số nguyên tố. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n'.

Tập hợp các ước tự nhiên của số n[sửa | sửa mã nguồn]

Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n[sửa | sửa mã nguồn]

• Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n ký hiệu là {\displaystyle \tau (n)}

Cho số tự nhiên n> 1 với dạng phân tích tiêu chuẩn như trên. Khi đó mỗi ước b của n có dạng:

{\displaystyle b={p_{1}}^{\beta _{1}}{p_{2}}^{\beta _{2}}{\dots }{p_{k}}^{\beta _{k}}}

trong đó {\displaystyle 0\leq \beta _{i}\leq \alpha _{i}} với mỗi {\displaystyle 1\leq i\leq k}.

Do đó số tất cả các ước tự nhiên của n là

{\displaystyle \tau (n)=(\beta _{1}+1)(\beta _{2}+1)\cdots (\beta _{k}+1),}

ví dụ: {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!}, nên số 6936 có số các ước tự nhiên là (3+1).(1+1).(2+1)=24.

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n được ký hiệu là σ(n).

Công thức tính σ(n) như sau

{\displaystyle \sigma (n)={\frac {{p_{1}}^{\beta _{1}+1}-1}{{p_{1}}-1}}{\dot {\frac {{p_{2}}^{\beta _{2}+1}-1}{{p_{2}}-1}}}\dots {\frac {{p_{k}}^{\beta _{k}+1}-1}{{p_{k}}-1}}}

Xem thêm: Hàm tống các ước

Các ước tự nhiên khác chính nó của n được gọi là ước chân chính (hay ước thực sự) của n. Nếu tổng các ước chân chính của số tự nhiên n bằng chính n hay {\displaystyle \sigma (n)=2{\dot {n}}} thì n được gọi là số hoàn chỉnh.

Ví dụ:

Số 6 có các ước chân chính là 1,2, 3 và 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là số hoàn chỉnh.

Số 28 có các ước chân chính là 1,2, 4, 7, 14 và 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 nên 28 là số hoàn chỉnh.

Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên {\displaystyle \mathbb {N} }[sửa | sửa mã nguồn]

Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên {\displaystyle \mathbb {N} } là một quan hệ thứ tự bộ phận.

Trong {\displaystyle \mathbb {N} }, với hai phần tử a, b bất kỳ, khác không, tồn tại phần tử d trong {\displaystyle \mathbb {N} } là cận dưới đúng của a và b theo quan hệ chia hết, nghĩa là

1. d|a và d|b; và
2. với mọi d' thỏa mãn 1. d'|a và d'|b thì d'|d.

Phần tử này chính là ƯCLN(a, b). Tương tự, với hai số tự nhiên a, b bất kỳ, cùng khác không, tồn tại phần tử m trong {\displaystyle \mathbb {N} } là cận trên đúng của a và b theo quan hệ chia hết, nghĩa là

1. a|m và b|m; và
2. với mọi m' thỏa mãn 1. a|m' và b|m; thì m|m'.

Phần tử này chính là BCNN(a, b).

Nói cách khác, {\displaystyle \mathbb {N} } cùng với quan hệ chia hết tạo thành một dàn.

18 hàng ghế

các đáp án 

A r < b 

B r = 0

C r > 0

ịnh lý về phép chia với dư[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử cho hai số nguyên a và d, với d ≠ 0

Khi đó tồn tại duy nhất các số nguyên q và r sao cho a = qd + r và 0 ≤ r < | d |, trong đó | d | là giá trị tuyệt đối của d.

Các số nguyên trong định lý được gọi như sau

• q được gọi là thương khi chia a cho d. Đôi khi nó còn được gọi là thương hụt.
• r được gọi là dư khi chia a cho d
• d được gọi là số chia
• a được gọi là số bị chia

Phép toán tìm q và r được gọi là phép chia với dư.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

• Nếu a = 7 và d = 3, khi đó q = 2 và r = 1, vì 7 = (2)(3) + 1.
• Nếu a = 7 và d = −3, khi đó q = −2 và r = 1, vì 7 = (−2)(−3) + 1.
• Nếu a = −7 và d = 3, khi đó q = −3 và r = 2, vì −7 = (−3)(3) + 2.
• Nếu a = −7 và d = −3, khi đó q = 3 và r = 2, vì −7 = (3)(−3) + 2.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh định lý gồm hai phần: đầu tiên chứng minh sự tồn tại của q và r, thứ hai, chứng minh tính duy nhất của q và r.

Sự tồn tại[sửa | sửa mã nguồn]

Xét tập hợp

{\displaystyle S=\left\{a-nd:n\in \mathbb {Z} \right\}}

Ta khẳng định rằng S chứa ít nhất một số nguyên không âm. Có hai trường hợp như sau.

• Nếu d < 0, thì −d > 0, và theo tính chất Archimede, có một số nguyên n sao cho (−d)n ≥ −a, nghĩa là a − dn ≥ 0.
• Nếu d > 0, thì cũng theo tính chất Archimede, có một số nguyên n sao cho dn ≥ −a, nghĩa là a − d(−n) = a + dn ≥ 0.

Như vậy S chứa ít nhất một số nguyên không âm. Theo nguyên lý sắp thứ tự tốt, trong S có một số nguyên không âm nhỏ nhất, ta gọi số ấy là r. Đặt q = (a − r)/d, thì q và r là các số nguyên và a = qd + r.

Ta còn phải chỉ ra rằng 0 ≤ r < |d|. Tính không âm của r là rõ ràng theo cách chọn r. Ta sẽ chứng tỏ dấu bất đẳng thức thứ hai.

Giả sử nguợc lại r ≥ |d|. Vì d ≠ 0, r > 0, nên d > 0 hoặc d < 0.

• Nếu d > 0, thì r ≥ d suy ra a-qd ≥ d. Từ đó a-qd-d ≥0, lại dẫn tới a-(q+1)d ≥ 0. Do đó, nếu đặt r’='a-(q+1)d thì r’ thuộc S và r’=a-(q+1)d=r-d <r, điều này mâu thuẫn với tính chất r là phần tử không âm nhỏ nhất của S.
• Nếu d<0 thì r ≥ -d do đó a-qd ≥ -d. Từ đó suy ra rằng a-qd+d ≥0, tiếp tục suy ra r’= a-(q-1)d ≥ 0. Do đó, r’ thuộc S và, vì r’=r+d với d < 0 ta cór’= a-(q-1)d<r, mâu thuẫn với giả thiết r là số nguyên không âm nhỏ nhất trong S.

Như vậy ta đã chứng minh sự tồn tại của q và r.

Tính duy nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử rằng tồn tại q, q' , r, r' với 0 ≤ r, r' < |d| sao cho a = dq + r và a = dq' + r' . Không mất tính tổng quát giả sử q ≤ q' .

Từ hai đẳng thức trên ta có: d(q' - q) = (r - r' ).

Nếu d > 0 thì r' ≤ r và r < d ≤ d+r' , và như vậy (r-r' ) < d. còn nếu d < 0 thì r ≤ r' và r' < -d ≤ -d+r, và do đó -(r- r' ) < -d. Trong cả hai trường hợp ta có |r- r' | < |d|.

Mặt khác đẳng thức d(q' - q) = (r - r' ) chứng tỏ rằng |d| chia hết |r- r' |; do đó |d| ≤ |r- 'r' | hoặc |r- r' |=0. Nhưng vì |r-r' | < |d|, nên chỉ có thể r=r' . Thay vào đẳng thức d(q' - q) = (r - r' ) ta có dq = dq' và vì d khác 0, nên q = q' . Tính duy nhất đã được chứng minh.

em lớp 5 anh ơi toán 6 sao làm được