Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=ln\left|x^2+x+1\right||^1_0=ln3\)
2/ \(\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{5x}{\left(1-x^2\right)^3}dx=-\dfrac{5}{2}\int\limits^{\dfrac{1}{2}}_0\dfrac{d\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^3}=\dfrac{5}{4}\dfrac{1}{\left(1-x^2\right)^2}|^{\dfrac{1}{2}}_0=\dfrac{35}{36}\)
3/ \(\int\limits^1_0\dfrac{2x}{\left(x+1\right)^3}dx\Rightarrow\) đặt \(x+1=t\Rightarrow x=t-1\Rightarrow dx=dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=1\\x=1\Rightarrow t=2\end{matrix}\right.\)
\(I=\int\limits^2_1\dfrac{2\left(t-1\right)dt}{t^3}=\int\limits^2_1\left(\dfrac{2}{t^2}-\dfrac{2}{t^3}\right)dt=\left(\dfrac{-2}{t}+\dfrac{1}{t^2}\right)|^2_1=\dfrac{1}{4}\)
4/ \(\int\limits^1_0\dfrac{4x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}dx\)
Kĩ thuật chung là tách và sử dụng hệ số bất định như sau:
\(\dfrac{4x-2}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{ax+b}{x^2+1}+\dfrac{c}{x+2}=\dfrac{\left(a+c\right)x^2+\left(2a+b\right)x+2b+c}{\left(x^2+1\right)\left(x+2\right)}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+c=0\\2a+b=4\\2b+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=0\\a=-c=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^1_0\left(\dfrac{2x}{x^2+1}-\dfrac{2}{x+2}\right)dx=\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}-2\int\limits^1_0\dfrac{d\left(x+2\right)}{x+2}=ln\dfrac{8}{9}\)
5/ \(\int\limits^1_0\dfrac{x^2dx}{x^6-9}\Rightarrow\) đặt \(x^3=t\Rightarrow3x^2dx=dt\Rightarrow x^2dx=\dfrac{1}{3}dt;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)
\(I=\dfrac{1}{3}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{t^2-9}=\dfrac{1}{18}\int\limits^1_0\left(\dfrac{1}{t-3}-\dfrac{1}{t+3}\right)dt=\dfrac{1}{18}ln\left|\dfrac{t-3}{t+3}\right||^1_0=-\dfrac{1}{18}ln2\)
6/ Tương tự câu 4, sử dụng hệ số bất định ta tách được:
\(\int\limits^2_1\dfrac{2x-1}{x^2\left(x+1\right)}dx=\int\limits^2_1\left(\dfrac{3x-1}{x^2}-\dfrac{3}{x+1}\right)dx=\int\limits^2_1\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x+1}\right)dx\)
\(=\left(3ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+\dfrac{1}{x}\right)|^2_1=3ln\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}\)
Câu nào mình biết thì mình làm nha.
1) Đổi thành \(\dfrac{y^4}{4}+y^3-2y\) rồi thế số.KQ là \(\dfrac{-3}{4}\)
2) Biến đổi thành \(\dfrac{t^2}{2}+2\sqrt{t}+\dfrac{1}{t}\) và thế số.KQ là \(\dfrac{35}{4}\)
3) Biến đổi thành 2sinx + cos(2x)/2 và thế số.KQ là 1
a/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{1}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+1\right)}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left(\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{x^2+3}\right)dx\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(arctanx-\dfrac{1}{\sqrt{3}}arctan\dfrac{x}{\sqrt{3}}\right)|^1_0=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{36}\)
b/ \(I=\int\dfrac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}dx\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx=dt\) ; \(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\)
\(\Rightarrow I=\int\dfrac{dt}{t^2-2}=\int\dfrac{dt}{\left(t-\sqrt{2}\right)\left(t+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(\dfrac{1}{t-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}\right|+C=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}ln\left|\dfrac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}\right|+C\)
c/ \(I=\int\dfrac{dx}{x\left(x^3+1\right)}=\int\dfrac{x^2dx}{x^3\left(x^3+1\right)}\)
Đặt \(x^3+1=t\Rightarrow3x^2dx=dt\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right)t}=\dfrac{1}{3}\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{t-1}{t}\right|+C\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{x^3}{x^3+1}\right|+C\)
d/ \(I=\int\limits^1_0\dfrac{xdx}{x^4+x^2+1}\)
Đặt \(x^2=t\Rightarrow2xdx=dt\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=1\Rightarrow t=1\end{matrix}\right.\)
\(I=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{t^2+t+1}=\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}=\dfrac{2}{3}\int\limits^1_0\dfrac{dt}{\dfrac{4}{3}\left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2+1}\)
Đặt \(t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}tanu\Rightarrow dt=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{du}{cos^2u}\); \(\left\{{}\begin{matrix}t=0\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{6}\\t=1\Rightarrow u=\dfrac{\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{du}{cos^2u\left(tan^2u+1\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}du=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{18}\)
a)
Ta có:
∫π20cos2xsin2xdx=12∫π20cos2x(1−cos2x)dx=12∫π20[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫π20(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]π20=−14.π2=−π8∫0π2cos2xsin2xdx=12∫0π2cos2x(1−cos2x)dx=12∫0π2[cos2x−1+cos4x2]dx=14∫0π2(2cos2x−cos4x−1)dx=14[sin2x−sin4x4−x]0π2=−14.π2=−π8
b)
Ta có: Xét 2x – 2-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.
Ta tách thành tổng của hai tích phân:
∫1−1|2x−2−x|dx=−∫0−1(2x−2−x)dx+∫10(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)∣∣0−1+(2xln2+2−xln2)∣∣10=1ln2∫−11|2x−2−x|dx=−∫−10(2x−2−x)dx+∫01(2x−2−x)dx=−(2xln2+2−xln2)|−10+(2xln2+2−xln2)|01=1ln2
c)
∫21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫21x3+6x2+11x+6x2dx=∫21(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]∣∣21=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2∫12(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=∫12x3+6x2+11x+6x2dx=∫12(x+6+11x+6x2)dx=[x22+6x+11ln|x|−6x]|12=(2+12+11ln2−3)−(12+6−6)=212+11ln2
d)
∫201x2−2x−3dx=∫201(x+1)(x−3)dx=14∫20(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]∣∣20=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)∫021x2−2x−3dx=∫021(x+1)(x−3)dx=14∫02(1x−3−1x+1)dx=14[ln|x−3|−ln|x+1|]|02=14[1−ln2−ln3]=14(1−ln6)
e)
∫π20(sinx+cosx)2dx=∫π20(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]∣∣π20=π2+1∫0π2(sinx+cosx)2dx=∫0π2(1+sin2x)dx=[x−cos2x2]|0π2=π2+1
g)
I=∫π0(x+sinx)2dx∫π0(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]∣∣π0+2∫π0xsinxdx+12∫π0(1−cos2x)dxI=∫0π(x+sinx)2dx∫0π(x2+2xsinx+sin2x)dx=[x33]|0π+2∫0πxsinxdx+12∫0π(1−cos2x)dx
Tính :J=∫π0xsinxdxJ=∫0πxsinxdx
Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x
Suy ra:
J=[−xcosx]∣∣π0+∫π0cosxdx=π+[sinx]∣∣π0=πJ=[−xcosx]|0π+∫0πcosxdx=π+[sinx]|0π=π
Do đó:
I=π33+2π+12[x−sin2x2]∣∣π30=π33+2π+π2=2π3+15π6
1/ \(I=\int\dfrac{lnx}{\sqrt{x}}dx\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\dfrac{dx}{\sqrt{x}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=2\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=2\sqrt{x}.lnx-2\int\dfrac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}lnx-4\sqrt{x}+C\)
2/ \(I=\int ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)dx\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\int\dfrac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(=x.ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(x^2+1\right)}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(=x.ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\sqrt{x^2+1}+C\)
3/ \(\int\left(x^2+2x+3\right)dx=\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x+C\)
\(\dfrac{1}{\left(x^2+4x+3\right)^3}=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^3\left(x+3\right)^3}\)
Phân tích hệ số bất định:
\(=\dfrac{a_1}{x+1}+\dfrac{a_2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{a_3}{\left(x+1\right)^3}+\dfrac{b_1}{x+3}+\dfrac{b_2}{\left(x+3\right)^2}+\dfrac{b_3}{\left(x+3\right)^3}\)
Cách phân tích thứ 2:
\(=\dfrac{a\left(x+2\right)}{x^2+4x+3}+\dfrac{b\left(x+2\right)}{\left(x^2+4x+3\right)^2}+\dfrac{c}{x+1}+\dfrac{d}{x+3}\)
À mà cách thứ 2 hình như ko đúng, bậc ko đảm bảo
Bài này mẫu số hơi đặc biệt nên có thể ko cần máy móc như vậy:
\(\left(\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}\right)^3=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+3}\right)^3\)
Khai triển nó ra có vẻ dễ thực hiện hơn
Kiên nhẫn đi :)
Trên thực tế, những bài kiểu này ko cần quan tâm, vì ko ai cho cả
Yah, em có mấy vấn đề thắc mắc đây ạ:
-Phân tích hệ số bất định là phải dựa vô mũ của biểu thức đó đúng ko ạ? Mũ 2 thì phân tích thành 2 biểu thức mẫu mũ 1 và mẫu mũ 2, mũ 3 thì phân tích thành 3 biểu thức mẫu mũ 1, mẫu mũ 2 và mẫu mũ 3. Em hiểu như thế có đk nhỉ?
-Sao anh lại phân tích cái mẫu ra thành [(x+1)(x+3)]^3 được ạ? Ko lẽ lại do kinh nghiệm :>
-Với cả nếu giờ cái mũ kia nó ko là mũ 3 nữa mà mũ 3, mũ 5,.. mũ n thì phân tích như nào ạ :>
Sương sương vầy đã ạ
Sẽ không ai yêu cầu giải phương trình: \(x^7+x-1=0\)
Cho nên không cần quan tâm pt đó giải thế nào
Cũng như vậy, mũ lớn chẳng cần quan tâm, vì cũng ko ai cho như vậy, trừ trường hợp cực kì đặc biệt có thể đặt ẩn phụ.
Nhưng mà anh tách mẫu ra kiểu gì nhỉ? Em vẫn chưa hiểu ý tưởng của anh, tại sao lại tách ra thành (x+1)^3 .(x+3)^3 ý ạ.
Với cả vấn đề thứ nhất trong cmt trên của em, liệu em hiểu có đúng về phân tích hệ số bất định ko ạ?
P/s: Cách anh làm hay hơn sách em rồi :> Sách em nó viết tổng quát cho mũ n, và nó có phương pháp khá dài dòng, tối em mượn đt mẹ em em chụp cho ạ :>
Điều quan trọng là thời gian.
Bất cứ 1 bài toán nào cũng cần thời gian để giải, mũ càng cao thì càng mất thời gian phân tích.
Bạn có cho rằng trong 1 bài thi 90-180ph, người ta sẽ cho 1 bài toán mà tốn mất cả tiếng chỉ để tách biểu thức không?
Cho nên, quan tâm đến nó làm gì khi mà nó chẳng bao giờ xảy ra?
Còn mẫu số bài này, đa thức \(x^2+4x+3\) thực sự là 1 đa thức lạ lẫm đến vậy hả?
Thôi em cũng lạy em luôn :( Lúc đó chả hiểu bấm mẫu kiểu gì thành vô nghiệm xong cứ ngồi vật vã đến tận giờ :(
Ơ mà viết thành như kia dễ nhìn hơn thật, đỡ khó hiểu hơn hẳn :>
Nhưng mà phân tích hệ số bất định ý ạ, em hiểu theo ý vừa nãy có đúng ko anh :>
Anh ơi ? Câu cuôi cùng của cmt thứ 2 từ dưới lên là câu hỏi ạ :(
Em cho thiếu dấu hỏi nên anh hình như ko để ý :(
\(\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)^3}=\dfrac{a_1}{x+1}+\dfrac{a_2}{\left(x+1\right)^2}+\dfrac{b_1}{x+2}+\dfrac{b_2}{\left(x+2\right)^2}+\dfrac{b_3}{\left(x+3\right)^3}\)
Làm biếng trả lời nên lấy 1 ví dụ khác, chắc bạn nhìn xong tự suy ra được
Vậy chắc em nói đúng rồi :> hihi
Cảm ơn anh nhé! :>