1. 

O A B D C E

+) Tứ giác ABCD kà hình thang cân => góc ADC = BCD và AD = BC

=> tam giác ODC cân tại O => OD = OC  

 mà AD = BC => OA = OB

+) tam giác ODB và OCA có: OD = OC; góc DOC chung ; OB = OA 

=> Tam giác ODB = OCA (c - g - c)

=> góc ODB = OCA mà góc ODC = OCD => góc ODC - ODB = OCD - OCA

=> góc EDC = ECD => tam giác EDC cân tại E => ED = EC (2)

Từ (1)(2) => OE là đường  trung trực của CD

=> OE vuông góc CD mà CD // AB => OE vuông góc với AB

Tam giác OAB cân tại O có OE là đường cao nên đồng thời là đường  trung trực

vậy OE là đường trung trực của AB

Vì ABCD là hình thang cân 

Gọi H là giao điểm AB và OE 

=> AB // CD 

ADC = BCD 

Mà OAB = ADC ( đồng vị) 

BCD = OBA ( đồng vị)

Mà ADC = BCD

=> ∆BOA cân tại O 

Tự xét ∆OAH = ∆OBH(c.g.c)

=> HA = HB 

=> OH vuông góc với AB 

Hay OE vuông góc với AB 

=> OE là trung trực AB 

Gọi G là giao điểm DC và OE 

Mà AB//CD(cmt)

=> GHB = HGD = 90° 

=> OG vuông góc với DC

Hay OE vuông góc với DC 

Tự xét ∆ACD = ∆BDC 

=> DAE = CBE ( tg ứng )

Tự xét ∆AED = ∆BEC (g.c.g)

=> DE = EC

=> DEC cân tại E

Mà ∆DEC có OH là đường cao 

=> OH là trung trực DC 

Hay OE là trung trực DC(dpcm)

Vì ABCD là hình thang cân 

Gọi H là giao điểm AB và OE 

=> AB // CD 

ADC = BCD 

Mà OAB = ADC ( đồng vị) 

BCD = OBA ( đồng vị)

Mà ADC = BCD

=> ∆BOA cân tại O 

Tự xét ∆OAH = ∆OBH(c.g.c)

=> HA = HB 

=> OH vuông góc với AB 

Hay OE vuông góc với AB 

=> OE là trung trực AB 

Gọi G là giao điểm DC và OE 

Mà AB//CD(cmt)

=> GHB = HGD = 90° 

=> OG vuông góc với DC

Hay OE vuông góc với DC 

Tự xét ∆ACD = ∆BDC 

=> DAE = CBE ( tg ứng )

Tự xét ∆AED = ∆BEC (g.c.g)

=> DE = EC

=> DEC cân tại E

Mà ∆DEC có OH là đường cao 

=> OH là trung trực DC 

Hay OE là trung trực DC

Ta có:  ∠ (ADC) = ∠ (BCD) (gt)

⇒  ∠ (ODC) =  ∠ (OCD)

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD

OB + BC = OA + AD

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét  ∆ ADC và ∆ BCD:

AD = BC (tính chất hình thang cân )

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đó  ∆ ADC và ∆ BCD (c.c.c)

⇒  ∠ D 1 = ∠ C 1

⇒ ∆ EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E  ≠  O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Bài 3:

a: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

Xét tứ giác BDEC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)

nên BDEC là hình thang cân

b: BDEC là hình thang cân

=>BD=EC

DB=DE
=>ΔDBE cân tại D

=>\(\hat{DEB}=\hat{DBE}\)

mà \(\hat{DEB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\hat{DBE}=\hat{CBE}\)

=>BE là phân giác của góc ABC

=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC

ED=EC

=>ΔEDC cân tại E

=>\(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)

mà \(\hat{EDC}=\hat{BCD}\) (hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\hat{ECD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}\)

=>CD là phân giác của góc ACB

=>D là chân đường phân giác kẻ từ C xuống AB

Bài 2:

a: ΔCAD vuông tại C

=>\(\hat{CAD}+\hat{CDA}=90^0\)

=>\(\hat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{CAD}=60^0\)

Xét hình thang ABCD có \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\left(=60^0\right)\)

nên ABCD là hình thang cân

b: BC//AD

=>\(\hat{BCA}=\hat{CAD}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAD}=\hat{BAC}\) (AC là phân giác của góc BAD)

nên \(\hat{BCA}=\hat{BAC}\)

=>BC=BA

=>BC=BA=CD

Xét ΔCAD vuông tại C có cos CDA=\(\frac{CD}{DA}\)

=>\(\frac{CD}{DA}=cos60=\frac12\)

=>CD=0,5AD

=>BC=BA=CD=0,5AD

Chu vi hình thang ABCD là 20cm

=>AB+BC+CD+DA=20

=>0,5AD+0,5AD+0,5AD+AD=20

=>2,5AD=20

=>AD=8(cm)

Bài 1:

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)

=>OD=OC

Ta có: OD+OB=BD

OC+OA=AC

mà BD=AC và OD=OC

nên OB=OA

b: Xét ΔEDC có AB//DC

nên \(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\)

mà AD=BC

nên EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB

Ta có: EA+AD=ED

EB+BC=EC
mà EA=EB và AD=BC

nên ED=EC

=>E nằm trên đường trung trực của DC(3)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của CD