Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo Định lí Ta-lét ta có:

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

S A E O = S B F O  (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

S D E O = S C F O  (2)

Từ (1) và (2) suy ra : S O A D = S O B C  (3)

Suy ra: OH.AD = OK.BC

⇔

1: ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và CA là phân giác của góc BCD

Xét tứ giác MHCP có \(\hat{MHC}=\hat{MPC}=\hat{PCH}=90^0\)

nên MHCP là hình chữ nhật

Hình chữ nhật MHCP có CM là phân giác của góc HCP

nên MHCP là hình vuông

Xét tứ giác AQMK có \(\hat{AQM}=\hat{AKM}=\hat{QAK}=90^0\)

nên AQMK là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AQMK có AM là phân giác của góc QAK

nên AQMK là hình vuông

2:

Ta có: QM⊥AB

AB//CD

Do đó: QM⊥CD

Ta có: QM⊥CD

MH⊥CD

mà QM,MH có điểm chung là M

nên Q,M,H thẳng hàng

Xét tứ giác AQHD có \(\hat{QAD}=\hat{ADH}=\hat{QHD}=90^0\)

nên AQHD là hình chữ nhật

=>AQ=HD

mà AQ=AK

nên AK=DH

Xét ΔBAK vuông tại A và ΔADH vuông tại D có

BA=AD

AK=DH

Do đó: ΔBAK=ΔADH

=>\(\hat{AKB}=\hat{DHA}\)

mà \(\hat{DHA}+\hat{DAH}=90^0\) (ΔDAH vuông tại D)

nên \(\hat{AKB}+\hat{DAH}=90^0\)

=>AH⊥BK

a;Vì AB//CD nên theo định lí Ta-lét ta có:

OA/OC=OB/ODOAOC=OBOD

⇒OA.OD=OC.OB⇒OA.OD=OC.OB

b;Xét ΔAOHΔAOH và ΔCOKΔCOKcó:

AHOˆ=CKO=90oˆAHO^=CKO=90o^

AOHˆ=COKˆAOH^=COK^ (hai góc đối đỉnh)

⇒ΔAOH ΔCOK(g.g)⇒ΔAOH ΔCOK(g.g)

⇒OAOC=OHOK(1)⇒OAOC=OHOK(1)

Vì AB//CD nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có

ABCD=OAOC(2)ABCD=OAOC(2)

Từ 1 và 2 ta có:

OHOK=ABCD

Cảm ơn bạn

​

a) ABCD là hình thang nên AB//CD

CD=2AB ==>AB/CD=1/2

AB//CD, áp dụng định lý Ta-let, ta có

OA/OC=OB/OD=AB/CD=1/2

=>OA/OC=1/2 => OC=2OA

B) Ta có : OA/OC=OB/OD=AB/CD=1/2

==> OD/OB = 2 ==>OD = 2OB

*xét: OC/AC = 2OA/(OA + OC) = 2OA/(OA + 2OA) = 2OA/3OA = 2/3(1);

OD/BD = 2OB/(OD + OB) = 2OB/(2OB + OB) = 2/3(2)
*từ (1),(2) =>OC/AC = OD/BD = 2/3
=>O là trọng tâm tam giác FCD

c)

Vì một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD,AC và BC tại M, I,K và N nên KN//AB ,IM//AB và IN//AB

MI//AB, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có

MI/AB = DM/AD = DI/IB (1)

IN//AB, áp dụng định lý Ta-let, ta có

CN/BC=DI/IB (2)

Từ (1) và (2), ta có

DM/AD=CN/BC

d)

KN//AB, áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có

KN/AB=CN/BC

Ta có :KN/AB=CN/BC và MI/AB=DM/AD

mà DM/AD=CN/BC nên KN/AB=MI/AB => KN=MI

1 1 1 1 A H B D K C O

a, Xét 2 tam giác : AOB và COD

\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\)( 2 góc so le trong )

\(\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\)( 2 góc so le trong )

\(\Rightarrow\Delta AOB~\Delta COD\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AO}{OC}=\frac{OB}{OD}\)

\(\Rightarrow AO.OD=OC.OB\)

b, \(\Delta AOB~\Delta COD\Rightarrow\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}\left(1\right)\)

\(\Delta AOH\)và \(\Delta COK\)có :

\(\Rightarrow\frac{OH}{OK}=\frac{AO}{OC}\left(2\right)\)

Từ (1)(2) => \(\frac{OH}{OK}=\frac{AB}{CD}\)

Bài 1:

A B C M N O

Ta có BM là đường trung tuyến

⇒ \(\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{1}{2}\)

CN là đường trung tuyến

⇒ \(\dfrac{ON}{OC}=\dfrac{1}{2}\)

Suy ra: \(\dfrac{OM}{OB}=\dfrac{ON}{OC}\Rightarrow OM.OC=ON.OB\)

...