A B C H D

a) Theo tính chất một điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều 2 đầu mút 

=> AD = AH và AH = AE

Xét tam giác BDA và tam giác BHA có :

BA chung 

BD = BH (theo tính chất nêu trên)            => tam giác BDA = tam giác BHA  (1)

AD = AH 

Xét tam giác AHC và tam giác AEC có :

AC chung 

AH = AE                                                => tam giác AHC = tam giác AEC  (2)

CH = CE (như tính chất nêu trên)

Từ (1) 

=> \(AD⊥BD\) và \(\widehat{DAB}=\widehat{HAB}\)

Từ (2) ta cũng có :

\(AE⊥CE\) và \(\widehat{HAC}=\widehat{EAC}\)

Ta lại có :

\(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}+\widehat{HAB}+\widehat{HAC}+\widehat{EAC}=2\widehat{HAB}+2\widehat{HAC}=180^0\)

=> D , A , E thẳng hàng 

VÀ AD vuông góc với BD

     AE vuông góc với CE

MÀ AD , AE thuộc DE

=> BD // CE

a: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có

góc EHB=góc DHC

=>ΔHEB đồng dạng với ΔHDC

b: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc A chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AD*AC=AB*AE; AD/AB=AE/AC

c: Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc A chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

=>góc AED=góc ACB

a)  Xét \(\Delta ABD\)và   \(\Delta ACE\)có:

    \(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\)

    \(\widehat{BAC}\) chung

suy ra:   \(\Delta ABD~\Delta ACE\)  (g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)

\(\Rightarrow\)\(AB.AE=AC.AD\) 

b)   \(\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\) (câu a)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)

Xét  \(\Delta AED\)và    \(\Delta ACB\)có:

     \(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\) (cmt)

     \(\widehat{EAD}\) chung

suy ra:   \(\Delta AED~\Delta ACB\)  (g.g)

c)  Kẻ  \(HK\perp BC\) \(\left(K\in BC\right)\)

C/m:    \(\Delta BKH~\Delta BDC\)(g.g)  \(\Rightarrow\) \(\frac{BK}{BD}=\frac{BH}{BC}\)\(\Rightarrow\)\(BH.BD=BK.BC\) (1)

           \(\Delta CKH~\Delta CEB\)(g.g)   \(\Rightarrow\)\(\frac{CK}{CE}=\frac{CH}{CB}\)\(\Rightarrow\)\(CE.CH=CK.BC\) (2)

Lấy (1) + (2) theo vế ta được:   \(BH.BD+CE.CH=BK.BC+CK.BC=BC^2\) (đpcm)

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E co

góc DAB chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AD*AC=AB*AE;AD/AB=AE/AC

b: Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc DAE chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

=>góc ADE=góc ABC

a, theo định lý pitago tính đc BC

sau đó xét tam giác đồng dạng ABH và CBA là tìm đc AH

hok tốt

Theo định lý py ta go ta có

BC²=AC²+AB² Hay BC²=289 => BC=17

$\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$

$\angle ABC=\angle HBA$

$\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle HBA$ (g.g).

Suy ra:

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

$BC=BH+HC=4+9=13$

$AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52$

$\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}$.

Từ các tam giác đồng dạng:

$AH^2=BH\cdot HC=4\cdot9=36$

$\Rightarrow AH=6\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=AH\cos\angle BAH$

Mà từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AD=HC=9\text{ cm}$

Tương tự:

$AE=BH=4\text{ cm}$.

Vì $\angle DAE=90^\circ$ nên:

$DE^2=AD^2+AE^2$

$=9^2+4^2$

$=97$

$\Rightarrow DE=\sqrt{97}\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=HC,\quad AE=BH$

$AB^2=BH\cdot BC$

$AC^2=HC\cdot BC$

$\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{HC}}$

Mặt khác:

$\frac{AD}{AE}=\frac{HC}{BH}$.

Cách nhanh hơn, dùng $AB=2\sqrt{13}, AC=3\sqrt{13}$:

$AD\cdot AB=9\cdot2\sqrt{13}=18\sqrt{13}$

$AE\cdot AC=4\cdot3\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

Hai vế không bằng nhau, nên với dữ kiện câu b thì mệnh đề c như đề ghi không đúng.

Có khả năng đề bài bị nhầm vị trí $D,E$ hoặc câu c có điều kiện khác. Bạn kiểm tra lại đề nhé

Với câu d, nếu dùng đúng cách xác định $D,E$ như đề thì đặt:

$BH=m,\quad HC=n$

Khi đó:

$AD=HC=n,\quad AE=BH=m$

$S_{ADE}=\frac12mn$

Mặt khác:

$S_{ABC}=\frac12AB\cdot AC$

$AB=\sqrt{m(m+n)},\quad AC=\sqrt{n(m+n)}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac12(m+n)\sqrt{mn}$

Do đó:

$S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}$.

Điều kiện:

$S_{ADE}=\frac13S_{BDEC}$

$\Rightarrow4S_{ADE}=S_{ABC}$

$\Rightarrow2mn=(m+n)\sqrt{mn}$

$\Rightarrow2\sqrt{mn}=m+n$

Theo bất đẳng thức:

$m+n\ge2\sqrt{mn}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$m=n$

$\Rightarrow BH=HC$

$\Rightarrow AB=AC$.

Vậy tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.