a) Tìm thiết diện :

Trong mp(ABCD), gọi F = AD ∩ PN và E = AB ∩ PN

Trong mp(SAD), gọi Q = MF ∩ SD

Trong mp(SAB), gọi R = ME ∩ SB

Nối PQ, NR ta được các đoạn giao tuyến của mp(MNP) với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp là MQ, QP, PN, NR, RM

Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác MQPNR.

b) Tìm SO ∩ (MNP). Gọi H là giao điểm của AC và PN .

Trong (SAC), SO ∩ MH = I

Vậy I = SO ∩ (MNP).

Vì CD ⊂ (MCD), CD // AB, AB ⊂ (SAB) nên giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt SB tại N là trung điểm của SB. Vậy MN // CD. Hơn nữa MN ≠ CD. Vậy thiết diện là hình thang CNMD.

Đáp án C

MN là đường trung bình tam giác ABD \(\Rightarrow MN||BD\)

Trong mp (SBD), qua P kẻ đường thẳng song song BD lần lượt cắt SB và SD tại E và F

Gọi I là giao điểm AC mà MN

Trong mp (SAC), nối IP kéo dài cắt SC tại Q

Ngũ giác MNFQE là thiết diện của (MNP) và chóp

IJ là đường trung bình của hình thang \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IJ||AB\\IJ=\dfrac{AB+CD}{2}\end{matrix}\right.\)

Qua G kẻ đường thẳng song song AB lần lượt cắt SB, SA tại E và F

\(\Rightarrow\) Tứ giác IJEF là thiết diện của (GIJ) và chóp

\(EF||AB||IJ\Rightarrow IJEF\) là hình thang

Gọi M là trung điểm AB

Theo tính chất trọng tâm và định lý Talet:

\(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{SG}{SM}=\dfrac{2}{3}\)

Để IJEF là hình bình hành \(\Leftrightarrow IJ=EF\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{AB+CD}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}AB=CD\)

\(\Rightarrow AB=3CD\)

a: Chọn mp(ABC) có chứa BC

Xét ΔSAC có

M,N lần lượt là trung điểm của SA,SC

=>MN là đường trung bình của ΔSAC

=>MN//AC

Xét (MNP) và (ABC) có

P∈(MNP) giao (ABC)

MN//AC

Do đó: (MNP) giao (ABC)=xy, xy đi qua P và xy//MN/?AC

Gọi K là giao điểm của xy và BC

=>K là giao điểm của BC và mp(MNP)

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$

Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:

- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$

- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$

- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:

- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$

Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:

- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$

- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$

- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$

- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$

⇒ $R = (a/2, a, a)$

Thiết diện là tam giác $PSR$:

- $P = (a/2,0,0)$

- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ

- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?

- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$

- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$

- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:

- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$

- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$

- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?

- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không

- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$