Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\\SA\perp BC\end{matrix}\right.\)

Mà BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC và BC ⊥ AH

Do BC ⊥ AH và AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ KH ⇒ \(\widehat{AHK}=90^0\)

ΔSAB và ΔSAC vuông tại A

Mà AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA^2=SK.SB\\SA^2=SH.SC\end{matrix}\right.\)

⇒ SK . SB = SH . SC

⇒ \(\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SC}{SB}\) ⇒ ΔSKH \(\sim\) ΔSCB ⇒ \(\widehat{SKH}=\widehat{SCB}=90^0\)

⇒ HK ⊥ SB

Mà AK⊥ SB

⇒ ((SAB),(SCB)) = (AK,AH) = \(\widehat{KAH}\) = 45⁰ (đây là góc nhọn, vì \(\widehat{AHK}=90^0\))

⇒ ΔHAK vuông cân tại H ⇒ AK = \(\sqrt{2}AH\)

Ta có : \(\dfrac{S_{SAC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.SC}{\dfrac{1}{2}AK.SB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.SA.AC}{\dfrac{1}{2}.SA.AB}\)

⇒ \(\dfrac{AH.SC}{AK.SB}=\dfrac{SA.AC}{SA.AB}\)

⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) . \(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\). Mà AC = a và AB = 2a

⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)\(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(\dfrac{SC^2}{SB^2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) . Mà SB² - SC² = BC² = 3a²

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SC^2=3a^2\\SB^2=6a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SB=a\sqrt{6}\\SC=a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) ⇒ SA = a\(\sqrt{2}\)

Từ đó ta tính được SH = \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) và SK = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Gọi M là trung điểm của SB thì ta có CM // HK (cùng vuông góc với SB)

Khoảng cách từ HK đến AC bằng khoảng cách từ HK đến (AMC)

bn ơi cho mình hỏi sao gọi M là tđ sb thì suy ra cm ss vs hk dc nhỉ

Đáp án A

Dễ thấy (vì SA ⊥ (ABC))

Ta có: V_S.ABC 

Đáp án B

Ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ SC, do đó góc giữa mp (SBC) và mp (ABC) chính là góc SCA.

Mặt khác

Vì tam giác SAC vuông tại A nên ta có

đặt t = sin α  ta có hàm số thể tích theo t như sau

Đáp án là A

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA=5a$ nên đặt:

$S(0,0,5a)$

Ta có:

$\vec{SB}=(a,0,-5a)$

Điểm $D \in SB$ nên:

$D=S+t\vec{SB}=(at,0,5a-5at)$

Do $AD \perp SB$ nên:

$\vec{AD}\cdot\vec{SB}=0$

$\Rightarrow (at,0,5a-5at)\cdot(a,0,-5a)=0$

$\Rightarrow a^2t-25a^2+25a^2t=0$

$\Rightarrow 26t=25$

$\Rightarrow t=\dfrac{25}{26}$

Suy ra:

$SD=\dfrac1{26}SB$

Tương tự:

$SE=\dfrac1{26}SC$

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V_{S.ABC}=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{2}\cdot5a=\dfrac{5a^3}{6}$

Trong mặt phẳng $(SBC)$, ta có:

$\triangle SDE \sim \triangle SBC$

với tỉ số:

$k=\dfrac1{26}$

Nên:

$\dfrac{S_{SDE}}{S_{SBC}}=\left(\dfrac1{26}\right)^2=\dfrac1{676}$

Hai khối chóp $S.ADE$ và $S.ABC$ có chung chiều cao từ $A$ xuống $(SBC)$ nên:

$\dfrac{V_{S.ADE}}{V_{S.ABC}}=\dfrac1{676}$

Suy ra:

$V_{S.ADE}=\dfrac1{676}\cdot\dfrac{5a^3}{6}$

Đáp án B

Hình chiếu của S xuống đáy ABC là tâm của đáy tức là M với M là trung điểm của BC.

Ta có 

Vì ABC là tam giác vuông cân nên H cũng là trung điểm của  vì thế 

Ta có:  =  a 2 2

Đáp án B

Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). Do SA = SB = SC nên IA = IB = IC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC . Mà  ∆ ABC vuông cân tại A nên I là trung điểm của BC và IA = IB = IC = BC/2 =  a 2 2

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC) nên 

Do ∆ SIA vuông tại I nên  vuông cân tại I, khi đó :