a) Ta có:

⇒ (SCD) ⊥ (SAD)

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).

Vậy (SBC) ⊥ (SAC).

b) Ta có:

c) 

Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và  .

Tam giác SDI có diện tích:

Đặt hệ trục tọa độ:

Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ (đáy là hình thang vuông tại $A, D$).

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ nên: $S(0,0,a)$.

a) Chứng minh vuông góc

Xét $(SAD)$ và $(SDC)$:

Ta có: $\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$

⇒ $(SAD)$ có hai vectơ chỉ phương vuông góc nhau ⇒ là mặt phẳng đứng.

Xét: $\vec{DC} = (a,0,0)$

Ta có: $\vec{DC} \perp \vec{SA}$ và $\vec{DC} \perp \vec{AD}$ ⇒ $DC \perp (SAD)$

Mà $DC \subset (SDC)$ ⇒ $(SAD) \perp (SDC)$

Xét $(SAC)$ và $(SCB)$:

Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{SA} = (0,0,a)$

⇒ $(SAC)$ là mặt phẳng chứa hai vectơ này.

Xét: $\vec{BC} = (-a,a,0)$

Ta có:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = -a^2 + a^2 = 0$
$\vec{BC} \cdot \vec{SA} = 0$

⇒ $BC \perp (SAC)$

Mà $BC \subset (SCB)$ ⇒ $(SAC) \perp (SCB)$

b) Tính $\tan\varphi$ với $\varphi$ là góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường thẳng vuông góc chung.

Xét cạnh $SB$: $\vec{SB} = (2a,0,-a)$

Độ dài: $SB = a\sqrt{5}$

Góc giữa $SB$ và đáy:

$\sin\varphi = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

⇒ $\cos\varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Suy ra: $\tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \dfrac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$

c) Xác định mặt phẳng $(\alpha)$ và thiết diện

$(\alpha)$ chứa $SD$ và vuông góc với $(SAC)$.

Ta có: $(SAC)$ chứa $\vec{SA}, \vec{AC}$

Một vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC}$

Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc $(SAC)$ ⇒ chứa $\vec{n}$

Lại chứa $SD$ ⇒ $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $SD$ và song song với $\vec{n}$

Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a$ nên:

$S(a,0,a)$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{SA}=(0,0,a),\ \vec{AC}=(-a,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{SA}\times\vec{AC}=(-a^2,-a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(1,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,-a),\ \vec{BC}=(0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là:

$\vec n_2=\vec{SB}\times\vec{BC}=(a^2,0,-a^2)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_2=(1,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{|1\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$=\dfrac{1}{2}$.

Suy ra:

$\alpha=60^\circ$.

Vậy chọn đáp án A.

a) BC ⊥ SA & BC ⊥ AB) ⇒ BC ⊥ (SAB)

⇒ BC ⊥ SB.

⇒ tam giác SBC vuông tại B.

b) BH ⊥ AC & BH ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAC)

⇒ (SBH) ⊥ (SAC).

c) d[B, (SAC)] = BH. Ta có:

Đáp án A

Ta có: B là hình chiếu của B lên  (ABCD)

A là hình chiếu của S lên (ABCD)

Suy ra góc tạo bởi (ABCD)  là góc  φ = S B A ^ . 

Đặt hệ trục tọa độ:

Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(2a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ nên: $S(0,0,a)$.

Xét cạnh $SB$: $\vec{SB} = (2a,0,-a)$

Độ dài: $SB = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = a\sqrt{5}$

Góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\varphi$:

$\sin\varphi = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Suy ra: $\cos\varphi = \sqrt{1 - \sin^2\varphi} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{5}} = \sqrt{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

Do đó: $\cot\varphi = \dfrac{\cos\varphi}{\sin\varphi} = \dfrac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = 2$

Đáp án: A. $\cot\varphi = 2$

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\\SB=\left(SAB\right)\cap\left(SBC\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)

\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)

\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx40^053'\)

Gọi M là trung điểm SB \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\) (tính chất trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)