Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$.
Vì $(SAC) \perp (ABC)$ nên $H \in AC$.
a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $HC$:
$\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC}$.
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $H \in AC$ nên đặt $HC = x$.
Vì tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $\Rightarrow H$ là trung điểm $AC$.
Suy ra $HC = \dfrac{a}{2}$.
Xét góc giữa $SB$ và đáy:
$\tan 30^\circ = \dfrac{SH}{BH} = \dfrac{1}{\sqrt3}$.
Trong tam giác đều:
$BH = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
=> $\dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SH}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} \Rightarrow SH = \dfrac{a}{2}$.
Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SH}{HC} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2}} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.
b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó góc giữa hai mặt phẳng là:
$\tan \beta = \dfrac{SH}{HM}$.
Trong tam giác đều:
$HM = \dfrac{\sqrt3}{2}a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{4}$.
=> $\tan \beta = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt3}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt3} \Rightarrow \beta = \arctan \dfrac{2}{\sqrt3}$.
2)
Vì $(SAB) \perp (ABC)$ và tam giác $SAB$ vuông tại $S$ nên:
$SA \perp SB$, đồng thời $SA \perp (ABC)$.
=> $SA$ là chiều cao.
a) Góc giữa $SC$ và $(ABC)$:
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ thì $H \equiv A$.
Do đó: $\tan \alpha = \dfrac{SA}{AC}$.
Vì tam giác đều: $AC = a$.
=> $\tan \alpha = \dfrac{a\sqrt3}{a} = \sqrt3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.
b) Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$:
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có:
$\tan \beta = \dfrac{SA}{AM}$.
Trong tam giác đều:
$AM = \dfrac{\sqrt3}{2}a$.
=> $\tan \beta = \dfrac{a\sqrt3}{\dfrac{\sqrt3}{2}a} = 2 \Rightarrow \beta = \arctan 2$.
+ Ta có S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C
+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒ N là trung điểm của AC (MN//BC).
+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là S B A ^ = 60 °
⇒ SA = AB.tan 60 ° = 2a 3
AC = A B 2 + B C 2 = 2 a 2
+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương A B → ; A C → ; A S → .
I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →
Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0
Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13
Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra
169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .
Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .
Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .
Đáp án D
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)=AB\\SA\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)
\(\widehat{SBA}=45^0\) (do SAB vuông cân tại A)
b.
\(\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)
\(AC=AB\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\)
\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx35^015'\)
Nhận xét
Gọi (α) là mặt phẳng qua SM và song song với AB.
Ta có BC // (α) và (ABC) là mặt phẳng chứa BC nên (ABC) sẽ cắt (α) theo giao tuyến d đi qua M và song song với BC, d cắt AC tại N.
Ta có (α) chính là mặt phẳng (SMN). Vì M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.
+ Xác định khoảng cách.
Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AB.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SN và d’.
Ta có: AB // (P).
Khi đó: d(AB, SN) = d(A, (P)).
Dựng AD ⊥ d’, ta có AB // (SDN). Kẻ AH vuông góc với SD, ta có AH ⊥ (SDN) nên:
d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH.
Trong tam giác SAD, ta có 
Trong tam giác SAB, ta có S A = A B . tan 60 o = 2 a 3 và AD = MN = BC/2 = a.
Thế vào (1), ta được
