Hệ phương trình đã cho là:

1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Để các căn thức có nghĩa, ta cần:

Vậy, ĐKXĐ là: $-1 \le x \le 1$.

2. Biến đổi phương trình (1)

Chuyển các số hạng chứa $\sqrt{1-x}$ về một vế và các số hạng còn lại về vế kia:

Nếu đặt $z = \sqrt{1-x}$, ta có $z \ge 0$ và $z^2 = 1-x$, hay $x = 1 - z^2$.

Thay $x$ vào biểu thức $1 - 2x$:

Thay lại vào phương trình (1) đã biến đổi:

Xét hàm số $f(t) = 2t^3 + t$. Ta có $f'(t) = 6t^2 + 1 > 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$.

$\implies f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do đó, từ $f(y) = f(-z)$, suy ra $y = -z$.

Thay $z = \sqrt{1-x}$ trở lại, ta được mối liên hệ:

3. Thay thế vào phương trình (2)

Thay $(*)$ vào phương trình $(2)$:

Sử dụng công thức $\sqrt{1-x}\sqrt{1+x} = \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^2}$ (do $-1 \le x \le 1$):

Lưu ý rằng $\sqrt{1-x} \ge 0$, và $y = -\sqrt{1-x} \le 0$, tức là $y$ không dương.

Xét vế trái của $(2)$: $2x^2 + 2xy\sqrt{1+x}$.

Từ $(*)$, ta có $y^2 = 1 - x$, hay $x = 1 - y^2$.

Thay $x = 1 - y^2$ vào $(2)$:

Đây là một phương trình rất phức tạp. Ta nên biến đổi phương trình $(2)$ một cách khác.

Quay lại phương trình:

Ta nhận thấy vế trái có dạng bình phương thiếu. Nhân 2 vế với 2:

Đây không phải là một hướng đi đơn giản. Ta nên thử phương pháp lượng giác do kết quả có dạng lượng giác.

4. Phương pháp lượng giác

Đặt $x = \cos t$, với $t \in [0, \pi]$ (vì $-1 \le x \le 1$).

Từ $(*)$, ta có $y = -\sqrt{1-x}$.

Vì $t \in [0, \pi] \implies \frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \left(\frac{t}{2}\right) \ge 0$.

Nên $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$.

Thay $x = \cos t$ và $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$ vào phương trình $(2)$:

Sử dụng công thức: $\sqrt{1 + \cos t} = \sqrt{2\cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = \sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)$ (vì $\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$).

Sử dụng công thức $\sin t = 2\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)$:

Sử dụng công thức $\cos(2t) = 2\cos^2 t - 1$, hay $2\cos^2 t = 1 + \cos(2t)$:

Sử dụng công thức $a\cos \alpha + b\sin \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\alpha - \phi)$:

Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$:

Sử dụng công thức $-\sin \alpha = \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$:

Phương trình có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Do $t \in [0, \pi]$, ta thay $k = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$ (nhận)

Nếu $k = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} > \pi$ (loại).

Với $t = \frac{\pi}{6}$:

Giá trị này không khớp với đáp án $\left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$. Trường hợp này bị loại.

Trường hợp 2:

Do $t \in [0, \pi]$, ta thử các giá trị $k$:

• $k = 0$: $t = -\frac{3\pi}{10}$ (loại)
• $k = 1$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{-3\pi + 8\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (nhận)
• $k = 2$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{8\pi}{5} = \frac{-3\pi + 16\pi}{10} = \frac{13\pi}{10} > \pi$ (loại)

Với $t = \frac{\pi}{2}$:

Kiểm tra nghiệm $(x; y) = (0; -1)$ vào hệ ban đầu:

Trường hợp này cũng bị loại.

5. Xem xét lại đáp án gợi ý

Đáp án gợi ý là: $(x; y) = \left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$.

Nếu đây là nghiệm, ta phải có $y = -\sqrt{1-x}$.

$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{1 - \cos \frac{3\pi}{10}}$

$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2\sin^2 \frac{3\pi}{20}}$

$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}$ (vì $\frac{3\pi}{20} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \frac{3\pi}{20} > 0$)

$\iff 2\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = 0 \quad \text{(Vô lí vì } \sin...

ta có x-y=7 =>x=7+y
theo đề ta có pt
1/3(7+y)=1/4y
=> 7/3+y/3=y/4
=>28+4y=3y
=>4y-3y=-28
=>y=-28
vậy x=7+y=7+(-28)=-21

A! anh em lớp 12 đấy khi nào em lên Hoà Bình đã

Từ phương trình thứ nhất ta có : \(y=x-2\)

Thay vào phương trình thứ 2, ta được :

\(3^{x^2+x-2}=3^{-2}\)

Do đó

\(x^2+x-2=-2\) nên \(x=0\) hoặc \(x=-1\) 

Suy ra \(y=-2\) hoặc \(y=-3\)

Vậy hệ có 2 nghiệm là \(\left(0;-2\right)\) và \(\left(-1;-3\right)\)

trong cac phan so sau :2/3 ;2/8 ;17/300 ;1/30.phan so thap phan la phan so 

cau a , xet phuong trinh 1 la 8(x+y) =x^2 +2y^2 + 3xy

ta co , 8(x+y) = x^2 +2xy+y^2 +y^2+xy

    8(x+y)= (x+y)^2+y(x+y)

 (x+y)((x+y)+y-8)=0  xét (x+y)=0 và (x+2y-8)=0 . xét từng trường hợp rồi thế vào phương trình 2 rồi tự giải lột nhe

cau 2 de kho hieu the , viet lai xem nao sao 2 phong trinh ma bang mot bieu thuc thoi ak