A = \(\overline{111111\ldots1111}\) (27 chữ số 1)

A = 111111111 + 111111111.10\(^9\) + 111111111.10\(^{18}\)

A = 111111111.(1 + 10^9 + 10^18)

Đặt B = 111111111

Xét tổng các chữ số của B ta có:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

9 ⋮ 9 vậy B chia hết cho 9 và B có dạng:

B = 9n(n ∈ N*)

Đặt C = 1 + 10^9 + 10^18

10^9; 10^ 18; 1 chia 3 đều dư 1

Vậy C chia hết cho 3 nên C có dạng:

C = 3k (k ∈ N*)

Từ những lập luận trên ta có:

A = B.C = 9n.3k = 27n.k

Vậy A ⋮ 27 (đpcm)

Đặt A = 111....1 (27 chữ số 1)

Ta có: A = 111...100..0 (9 chữ số 1 và 18 chữ số 0) + 111...100...0 (9 chữ số 1 và 9 chữ số 0) + 111...111 (9 chữ số 1)

= 111...1 . 10¹⁸ + 11...1 . 10⁹ + 111...1 = 111...111 . (10¹⁸ + 10⁹ + 1)

Vì 111....1 (9 chữ số 1) => tổng các chữ số bằng 9 chia hết cho 9 nên 111...1 chia hết cho 9

(10¹⁸ + 10⁹ + 1) có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3

=> A = 9k . 3k = 27kk => A chia hết cho 27

=> đpcm
 

A = \(\overline{111111\ldots1111}\) (27 chữ số 1)

A = 111111111 + 111111111.10\(^9\) + 111111111.10\(^{18}\)

A = 111111111.(1 + 10^9 + 10^18)

Đặt B = 111111111

Xét tổng các chữ số của B ta có:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

9 ⋮ 9 vậy B chia hết cho 9 và B có dạng:

B = 9n(n ∈ N*)

Đặt C = 1 + 10^9 + 10^18

10^9; 10^ 18; 1 chia 3 đều dư 1

Vậy C chia hết cho 3 nên C có dạng:

C = 3k (k ∈ N*)

Từ những lập luận trên ta có:

A = B.C = 9n.3k = 27n.k

Vậy A ⋮ 27 (đpcm)

A = 111.........1( 27 chữ số 1)

=>A = 1²⁷

=>A chia hết cho 27

A = \(\overline{111111\ldots1111}\) (27 chữ số 1)

A = 111111111 + 111111111.10\(^9\) + 111111111.10\(^{18}\)

A = 111111111.(1 + 10^9 + 10^18)

Đặt B = 111111111

Xét tổng các chữ số của B ta có:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

9 ⋮ 9 vậy B chia hết cho 9 và B có dạng:

B = 9n(n ∈ N*)

Đặt C = 1 + 10^9 + 10^18

10^9; 10^ 18; 1 chia 3 đều dư 1

Vậy C chia hết cho 3 nên C có dạng:

C = 3k (k ∈ N*)

Từ những lập luận trên ta có:

A = B.C = 9n.3k = 27n.k

Vậy A ⋮ 27 (đpcm)

A = 2n + \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

A = 3n + \(\overline{11\ldots111}\) - n

Đặt B = 3n; Đặt C = \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1); D = n

3n ⋮ n nên B chia hết cho 3 (1)

C = \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

Tổng chữ số của C là:

1 + 1 + 1 + ... + 1 = n

Vậy số dư của C khi chia cho 3 chính là số dư của n khi chia cho 3 nên C có cùng số dư với D khi chia cho 3

Vì hai số có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu hai số chia hết cho 3 suy ra:

C - D chia hết cho 3 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

B + C - D chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3 (đpcm)

Câu b:

Với n = 1 thì

10^n + 18^n - 1 = 10^1 + 18^0 = 10 + 1 = 11

11 không chia hết cho 27

Vậy việc chứng minh 10^n + 18^n - 1 chia hết cho 27 với mọi n là số tự nhiên là không thể.

câu c là +n nha

Đặt A = 111....1 (27 chữ số 1 )

Ta có: A = 111..100..0 (9 chữ số 1 và 18 chữ số 0 ) + 111..100..0 (9 chữ số 1 và 9 chữ số 0 ) + 111...11 (9 chữ số 1 )

= 11..1 x 10 ¹⁸ + 11...1 x 10 ⁹ + 111..1 = 11...1 x (10 ¹⁸ + 10 ⁹ + 1)

Vì 111...1 (9 chữ số 1) => tổng các chữ số = 9 chia hết cho 9 nên 111...1 chia hết cho 9

(10 ¹⁸ + 10 ⁹ + 1) có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3

=> A = 9k. 3.k' = 27.k.k' => A chia hết cho 27

Đặt A = 1111111.....11 ( 27 chữ số 1 )

Ta có : A = 111...100...0 ( 9 chữ số 1 và 18 chữ số 0 ) + 111...100..0 ( 9 chữ số 1 và 9 chữ số 0 ) + 111..11 ( 9 chữ số 1 )

= 11..1 x 10¹⁸ + 11..1 x 10⁹ + 111..1 = 11..1 x (10¹⁸ +10⁹ + 1 )

Vì 111...1 ( 9 chữ số 1 ) => Tổng các chữ số = 9 => 111...1 chia hết cho 9

( 10¹⁸ +10⁹ + 1 ) Có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3

=> A = 9k. 3.k' = 27.k.k^' => A  chia hết cho 27

A = 2n + \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

A = 3n + \(\overline{11\ldots111}\) - n

Đặt B = 3n; Đặt C = \(\overline{111\ldots111}\) (n chữ số 1); D = n

3n ⋮ n nên B chia hết cho 3 (1)

C = \(\overline{11..111}\) (n chữ số 1)

Tổng chữ số của C là:

1 + 1 + 1 + ... + 1 = n

Vậy số dư của C khi chia cho 3 chính là số dư của n khi chia cho 3 nên C có cùng số dư với D khi chia cho 3

Vì hai số có cùng số dư khi chia cho 3 nên hiệu hai số chia hết cho 3 suy ra:

C - D chia hết cho 3 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

B + C - D chia hết cho 3 hay A chia hết cho 3 (đpcm)