Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(y'=2cos2x=0\Rightarrow cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)
Do \(x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)
\(cos2x< 0\) khi \(\frac{\pi}{4}< x< \frac{\pi}{2}\); \(cos2x>0\) khi \(0< x< \frac{\pi}{4}\)
Hàm số đồng biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) nghịch biến trên \(\left(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)\)
b/ \(y'=-2sin2x=0\Rightarrow sin2x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)
Do \(x\in\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow x=0\)
Hàm số đồng biến trên \(\left(-\frac{\pi}{4};0\right)\) nghịch biến trên \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)
a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)
1. Tập xác định:
Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thì hàm hoàn toàn xác định.
2. Đạo hàm:
Ta cần xét đạo hàm để lập bảng biến thiên:
\(f \left(\right. x \left.\right) = 2 sin \left(\right. 2 x \left.\right) \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 2 \cdot \frac{d}{d x} \left[\right. sin \left(\right. 2 x \left.\right) \left]\right. = 2 \cdot 2 cos \left(\right. 2 x \left.\right) = 4 cos \left(\right. 2 x \left.\right)\)
3. Xét dấu của đạo hàm trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\):
- \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 cos \left(\right. 2 x \left.\right)\)
- Ta xét dấu của \(cos \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)
Bảng xét dấu của \(cos \left(\right. 2 x \left.\right)\):
Biến đổi đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thành:
- Khi \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = - \pi \Rightarrow cos \left(\right. 2 x \left.\right) = cos \left(\right. - \pi \left.\right) = - 1\)
- Khi \(x = 0 \Rightarrow cos \left(\right. 2 x \left.\right) = cos \left(\right. 0 \left.\right) = 1\)
- Khi \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = \pi \Rightarrow cos \left(\right. 2 x \left.\right) = cos \left(\right. \pi \left.\right) = - 1\)
➡ \(cos \left(\right. 2 x \left.\right)\) dương trên khoảng \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left.\right)\), âm ở hai bên.
Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:
- Hàm giảm trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , - \frac{\pi}{4} \left]\right.\)
- Hàm tăng trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left]\right.\)
- Hàm giảm trên \(\left[\right. \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)
4. Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:
- \(f \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin \left(\right. - \pi \left.\right) = 0\)
- \(f \left(\right. - \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2\)
- \(f \left(\right. 0 \left.\right) = 2 sin \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)
- \(f \left(\right. \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. 1 \left.\right) = 2\)
- \(f \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin \left(\right. \pi \left.\right) = 0\)
b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2 sin \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)
1. Một số điểm đặc biệt trên đồ thị:
- \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)
- \(x = - \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = - 2\)
- \(x = 0 \Rightarrow y = 0\)
- \(x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = 2\)
- \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)
2. Đặc điểm của đồ thị:
- Dạng sóng hình sin, nhưng bị nén theo trục hoành (vì có hệ số 2 trong sin(2x))
- Biên độ: 2
- Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{2} = \pi\)
- Trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\), ta thấy đúng nửa chu kỳ
👉 Cách vẽ đồ thị (gợi ý):
- Vẽ trục tọa độ \(O x y\)
- Đánh dấu các điểm:
- \(\left(\right. - \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)
- \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , - 2 \left.\right)\)
- \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
- \(\left(\right. \frac{\pi}{4} , 2 \left.\right)\)
- \(\left(\right. \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)
- Nối các điểm bằng đường cong mềm mại (dạng sóng sin)
- Chú thích các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (2 và -2), các điểm uốn tại \(x = 0\)
Lê Huy Hoàng:
a) ĐK: $x\in\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi\right\}$ với $k$ nguyên
PT $\Leftrightarrow \tan ^2x-4\tan x+5=0$
$\Leftrightarrow (\tan x-2)^2+1=0$
$\Leftrightarrow (\tan x-2)^2=-1< 0$ (vô lý)
Do đó pt vô nghiệm.
c)
ĐK:.............
PT $\Leftrightarrow 1+\frac{\sin ^2x}{\cos ^2x}-1+\tan x-\sqrt{3}(\tan x+1)=0$
$\Leftrightarrow \tan ^2x+\tan x-\sqrt{3}(\tan x+1)=0$
$\Leftrightarrow \tan ^2x+(1-\sqrt{3})\tan x-\sqrt{3}=0$
$\Rightarrow \tan x=\sqrt{3}$ hoặc $\tan x=-1$
$\Rightarrow x=\pi (k-\frac{1}{4})$ hoặc $x=\pi (k+\frac{1}{3})$ với $k$ nguyên
d)
ĐK:.......
PT $\Leftrightarrow \tan x-\frac{2}{\tan x}+1=0$
$\Leftrightarrow \tan ^2x+\tan x-2=0$
$\Leftrightarrow (\tan x-1)(\tan x+2)=0$
$\Rightarrow \tan x=1$ hoặc $\tan x=-2$
$\Rightarrow x=k\pi +\frac{\pi}{4}$ hoặc $x=k\pi +\tan ^{-2}(-2)$ với $k$ nguyên.
\(cos\left(\frac{x}{2}+15^0\right)=sinx=cos\left(90^0-x\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x}{2}+15^0=90^0-x+k360^0\\\frac{x}{2}+15^0=x-90^0+k360^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=50^0+k240^0\\x=210^0+k720^0\end{matrix}\right.\)
Với \(k=1\Rightarrow x=290^0\)
Bài 2:
\(\Leftrightarrow2sinx+2sinx.cosx-cosx-cos^2x-sin^2x=0\)
\(\Leftrightarrow2sinx+2sinx.cosx-cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow2sinx\left(cosx+1\right)-\left(cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(cosx+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{1}{2}\\cosx=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\) đáp án B
3/ \(y=\frac{sinx+cosx-1}{sinx-cosx+3}\)
\(\Leftrightarrow y.sinx-y.cosx+3y=sinx+cosx-1\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)sinx-\left(y+1\right)cosx=-3y-1\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\left(y-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge\left(-3y-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow7y^2+6y-1\le0\)
\(\Rightarrow-1\le y\le\frac{1}{7}\Rightarrow y_{max}=\frac{1}{7}\)
Đáp án D.
Cô giải thích sao lại ra D đi ạ
Bạn dựa vào lý thuyết hàm y=sin x đồng biến trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi;\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)\) hoặc đơn giản là bạn vẽ đồ thị sin ra. Đây là dạng đồ thị quen thuộc rồi.
????????????????????