Để mai mk lm giờ pùn ngủ quá ^ ^

A B C H I K M

a) Xét hai tam giác ABI và AKI có:

AB = AK (gt)

\(\widehat{BAI}=\widehat{KAI}\left(gt\right)\)

AI: cạnh chung

Vậy \(\Delta ABI=\Delta AKI\left(c-g-c\right)\)

b) Vì AB = AK (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABK\) cân tại A

\(\Rightarrow\) AI là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BK

Vậy AI \(\perp\) BK

c) Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{IBH}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{AKI}+\widehat{IKC}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{ABI}=\widehat{AKI}\left(\Delta ABI=\Delta AKI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IBH}=\widehat{IKC}\)

Xét hai tam giác IBH và IKC có:

\(\widehat{IBH}=\widehat{IKC}\left(cmt\right)\)

IB = IC (\(\Delta ABI=\Delta AKI\))

\(\widehat{BIH}=\widehat{KIC}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta IBH=\Delta IKC\left(g-c-g\right)\)

Suy ra: IH = IC (hai cạnh tương ứng)

Do đó: \(\Delta IHC\) cân tại I

d) Ta có: AH = AB + BH

AC = AK + KC

Mà AB = AK (gt)

BH = KC (\(\Delta IBH=\Delta IKC\))

\(\Rightarrow\) AH = AC

\(\Rightarrow\) \(\Delta AHC\) cân tại A

e) \(\Delta AHC\) cân tại A có AI là đường phân giác đồng thời là đường cao

hay AI \(\perp\) HC

Mà AI \(\perp\) BK (cmt)

Do đó: BK // HC

i) Xét hai tam giác AHM và ACM có:

AH = AC (cmt)

MH = MC (gt)

AM: cạnh chung

Vậy \(\Delta AHM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\)

Mà AI là tia phân giác của \(\widehat{BAK}\)

Vậy AI trùng AM hay ba điểm A, I, M thẳng hàng (đpcm).

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} a = bk \\ c = dk \end{cases}\)

Ta có: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(1\right)\)

\(\dfrac{a.c}{b.d}=\dfrac{bk.dk}{b.d}=\dfrac{k^2.b.d}{b.d}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a.c}{b.d}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\) \(\rightarrow đpcm\).

Ta có:

\(\dfrac{7a-11b}{4a+5b}=\dfrac{7c-11d}{4c+5d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{7a-11b}{7c-11d}=\dfrac{4a+5b}{4c+5d}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{7a}{7c}=\dfrac{11b}{11d}=\dfrac{4a}{4c}=\dfrac{5b}{5d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Mặt khác:

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\left(đpcm\right)\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)= k

Vì \(\dfrac{a}{b}=k\) = > a = bk

Vì \(\dfrac{c}{d}=k\) = > c = dk

Ta có: \(\dfrac{7a-11b}{4a+5b}=\dfrac{7.bk-11b}{4.bk+5b}=\dfrac{\left(7.11\right).b.\left(k-1\right)}{\left(4.5\right).b.\left(k+1\right)}\dfrac{\left(7.11\right).\left(k-1\right)}{\left(4.5\right).\left(k+1\right)}\)(1)

\(\dfrac{7c-11d}{4c+5d}=\dfrac{7.dk-11d}{4.dk+5d}=\dfrac{\left(7.11\right).d.\left(k-1\right)}{\left(4.5\right).d.\left(k+1\right)}=\dfrac{\left(7.11\right).\left(k-1\right)}{\left(4.5\right).\left(k+1\right)}\left(2\right)\)Từ (1) và (2) = > \(\dfrac{7a-11b}{4a+5b}=\dfrac{7c-11d}{4c+5d}\)

\(\dfrac{a+5}{a-5}=\dfrac{b+6}{b-6}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+5\right)\left(b-6\right)=\left(a-5\right)\left(b+6\right)\)

\(\Leftrightarrow ab-6a+5b-30=ab+6a-5b-30\)

=>-6a+5b=6a-5b

=>-12a=-10b

=>6a=5b

hay a/b=5/6

\(VT=\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\)

\(=\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{d+a}\right)\)

Ap dụng \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y} \left(\forall x,y>0\right)\)

Ta có: \(VT\ge\left(a+c\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}\)

\(=\dfrac{4\left(a+b+c+d\right)}{\left(a+b+c+d\right)}=4\left(ĐPCM\right)\)

c, \(\left(7-3x\right)\left(2x+1\right)=0\)

=> \(7-3x=0\) hoặc \(2x+1=0\)

\(3x=7-0\) hoặc \(2x=0-1\)

\(3x=7\) hoặc \(2x=-1\)

\(x=7:3\) hoặc \(x=-1:2\)

\(x=\dfrac{7}{3}\) hoặc \(x=-0,5\)

Vậy, \(x\in\left\{\dfrac{7}{3};-0,5\right\}\)

Tự lực suy nghĩ mà làm một lần đi, đừng hỏi nữa.

Mình có hỏi nữa đâu!

Đặt\(a+c=2b\left(1\right);2bd=c\left(b+d\right)\left(2\right)\\ \)

Thay (1) vào (2):\(\left(a+c\right)d=c\left(b+d\right)\)

Khai triển hết ra r rút gọn là ok.