Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-mx-m-1=0\) (1)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m-1\right)\)

\(=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)

Để đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>m+2<>0

=>m<>-2

Do đó: (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left[\begin{array}{l}x=\frac{m-\left(m+2\right)}{2}=\frac{m-m-2}{2}=-\frac22=-1\\ x=\frac{m+\left(m+2\right)}{2}=\frac{2m+2}{2}=m+1\end{array}\right.\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\)

=>|m+1|+|-1|=4

=>|m+1|=3

=>m+1=3 hoặc m+1=-3

=>m=2(nhận) hoặc m=-4(nhận)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-3x+2m+1=0\) (1)

Để (Pm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục hoành thì (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

=>ac<0

=>2m+1<0

=>2m<-1

=>\(m<-\frac12\)

mà m nguyên

nên m∈{....;-2;-1}

=>S={...;-2;-1}

=>S có vô số phần tử

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3=0\)

\(\Delta=\left\lbrack-2\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\left(m^2-3\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-3\right)=4\left(m^2-2m+1-m^2+3\right)=4\left(-2m+4\right)\)

Để (Pm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>4(-2m+4)>0

=>-2m+4>0

=>-2m>-4

=>m<2

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right);x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-3\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\)

=>\(\frac{a+b}{ab}=2\)

=>\(\frac{2\left(m-1\right)}{m^2-3}=2\)

=>\(m^2-3=m-1\)

=>\(m^2-m-2=0\)

=>(m-2)(m+1)=0

=>m=2(loại) hoặc m=-1(nhận)

Pt hoành độ giao điểm:

\(\sqrt{2x^2-2x-m}-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-2x-m}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\2x^2-2x-m=x^2+2x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x^2-4x-1=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb \(x\ge-1\)

Từ đồ thị hàm \(y=x^2-4x-1\) ta thấy \(-5< m\le4\)

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^2+4x+2m-10=0\) (1)

Để y cắt trục hoành tại 2 điểm nằm về 2 phía trục tung thì (1) có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow ac=2m-10< 0\Rightarrow m< 5\)

\(\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4\right\}\Rightarrow\sum m=1+2+3+4=...\)