Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
6.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos4x=\frac{1}{2}cos6x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}cos2x+1\)
\(\Leftrightarrow cos4x=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow2cos^22x-1=4cos2x+5\)
\(\Leftrightarrow cos^22x-2cos2x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=-1\\cos2x=3>1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
7.
Thay lần lượt 4 đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn
8.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right\}\)
9.
Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le t\le1\\sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow mt+\frac{t^2-1}{2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow t^2+2mt+1=0\)
Pt đã cho có đúng 1 nghiệm thuộc \(\left[-1;1\right]\) khi và chỉ khi: \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\)
10.
\(\frac{\sqrt{3}}{2}cos5x-\frac{1}{2}sin5x=cos3x\)
\(\Leftrightarrow cos\left(5x-\frac{\pi}{6}\right)=cos3x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x-\frac{\pi}{6}=3x+k2\pi\\5x-\frac{\pi}{6}=-3x+k2\pi\end{matrix}\right.\)
7.
Đặt \(\left|sinx+cosx\right|=\left|\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|=t\Rightarrow0\le t\le\sqrt{2}\)
Ta có: \(t^2=1+2sinx.cosx\Rightarrow sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\) (1)
Pt trở thành:
\(\frac{t^2-1}{2}+t=1\)
\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1) \(\Rightarrow2sinx.cosx=t^2-1=0\)
\(\Leftrightarrow sin2x=0\Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x=\left\{\frac{\pi}{2};\pi;\frac{3\pi}{2}\right\}\Rightarrow\sum x=3\pi\)
6.
\(\Leftrightarrow\left(1-sin2x\right)+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x-2sinx.cosx\right)+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)^2+sinx-cosx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(sinx-cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx-cosx=0\\sinx-cosx=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=k\pi\\x=\frac{3\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
Pt có 3 nghiệm trên đoạn đã cho: \(x=\left\{\frac{\pi}{4};0;\frac{\pi}{2}\right\}\)
1/ ĐKXĐ: \(\cos2x\ne0\)
\(\frac{\cos4x}{\cos2x}=\frac{\sin2x}{\cos2x}\)\(\Leftrightarrow\cos4x-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2\cos^22x-1-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2-2\sin^22x-1-\sin2x=0\)
\(\Leftrightarrow2\sin^22x+\sin2x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin2x=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\\\sin2x=-1=\sin\frac{-\pi}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\\2x=\frac{-\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\\2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{5\pi}{12}+k\pi\end{matrix}\right.\)
2/ \(\sin2.4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos\left(2x+4x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\left(\cos2x.\cos4x-\sin2x.\sin4x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+2\sin2x.\cos2x.\cos4x-2\sin^22x.\sin4x\)
\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos4x+\cos4x=1+\sin4x.\cos4x-\sin4x+\cos4x.\sin4x\)
Đến đây bn tự giải nốt nhé, lm kiểu bthg thôi bởi vì đã quy về hết sin4x và cos4x r
a/ Trên đoạn xét thuộc cung thứ 4, sinx đồng biến
\(\Rightarrow y_{min}=sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\) ; \(y_{max}=sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
b/ Trên đoạn xét thuộc cung phần tư thứ nhất và thứ 4, cosx luôn không âm
\(\Rightarrow y_{min}=cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) ; \(y_{max}=cos0=1\)
c/ Trên đoạn xét thuộc cung phần tư thứ tư, sinx đồng biến
\(y_{min}=sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\) ; \(y_{max}=sin0=0\)
d/ Trên đoạn xét thuộc cung phần tư thứ nhất (\(0< \frac{1}{4}< \frac{3}{2}< \frac{\pi}{2}\))
\(\Rightarrow cosx\) nghịch biến
\(y_{min}=y\left(\frac{3}{2}\right)=cos\left(\frac{3}{2}\right)\)
\(y_{max}=y\left(\frac{1}{4}\right)=cos\left(\frac{1}{4}\right)\)
a/
\(y=\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}\ge\frac{4}{sinx+cosx}=\frac{4}{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\ge\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(y_{min}=2\sqrt{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}sinx=cosx\\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)
\(y_{max}\) không tồn tại (y dần tới dương vô cùng khi x gần tới 0 hoặc \(\frac{\pi}{2}\))
b/
\(y=\frac{1}{1-cosx}+\frac{1}{1+cosx}=\frac{1+cosx+1-cosx}{1-cos^2x}=\frac{2}{sin^2x}\)
Hàm số ko tồn tại cả min lẫn max ( \(0< y< \infty\))
c/
Do \(tan^2x\) ko tồn tại max (tiến tới vô cực) trên khoảng đã cho nên hàm ko tồn tại max
\(y=2+\frac{sin^4x+cos^4x}{\left(sinx.cosx\right)^2}+\frac{1}{sin^4x+cos^4x}\ge2+2\sqrt{\frac{sin^4x+cos^4x}{\frac{1}{4}sin^22x.\left(sin^4x+cos^4x\right)}}\)
\(y\ge2+\frac{4}{sin2x}\ge2+\frac{4}{1}=6\)
\(y_{min}=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}sin2x=1\\sin^4x+cos^4x=sinx.cosx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)
1.
Hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) nên ta chỉ cần xét trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)
\(y'=\frac{-4}{\left(cosx-2\right)^2}.sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;\pi;2\pi\right\}\)
\(y\left(0\right)=-3\) ; \(y\left(\pi\right)=\frac{1}{3}\) ; \(y\left(2\pi\right)=-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\frac{1}{3}\\m=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow9M+m=0\)
2.
\(\Leftrightarrow y.cosx+y.sinx+2y=2k.cosx+k+1\)
\(\Leftrightarrow y.sinx+\left(y-2k\right)cosx=k+1-2y\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\Rightarrow y^2+\left(y-2k\right)^2\ge\left(k+1-2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2y^2-4k.y+4k^2\ge4y^2-4\left(k+1\right)y+\left(k+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2y^2-4y-3k^2+2k+1\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^2\le3k^2-2k+1\)
\(\Leftrightarrow y\le\sqrt{\frac{3k^2-2k+1}{2}}+1\)
\(y_{max}=f\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3k^2-2k+1}+1\)
\(f\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3\left(k-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}}+1\ge\frac{1}{\sqrt{3}}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(k=\frac{1}{3}\)
Đáp án A
3.
\(\Leftrightarrow cos2x.sin5x=-1\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}1\le cos2x\le1\\-1\le sin5x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow cos2x.sin5x\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}cos2x=1\\sin5x=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2sin^2x=1\\sin5x=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=0\\sin5x=-1\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại x thỏa mãn)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}cos2x=-1\\sin5x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosx=0\\sin5x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
Pt có đúng 1 nghiệm trên đoạn đã cho
4.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos3x+\frac{1}{2}cos2x-1=\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}cos6x\)
\(\Leftrightarrow cos6x+cos3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^23x+cos3x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=1\\cos3x=-\frac{3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3}\)
\(-100\pi\le\frac{k2\pi}{3}\le100\pi\Rightarrow-150\le k\le150\)
Pt đã cho có \(150-\left(-150\right)+1=301\) nghiệm trên đoạn đã cho
5.
\(5+2\sqrt{3}sinx.cosx-3\sqrt{3}sinx=2cos^2x+3cosx\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx\left(2sinx-\sqrt{3}\right)+2sin^2x-3\sqrt{3}sinx+3=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx\left(2sinx-\sqrt{3}\right)+\left(2sinx-\sqrt{3}\right)\left(sinx-\sqrt{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}cosx+sinx-\sqrt{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1\right)\\\sqrt{3}cosx+sinx=\sqrt{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Pt đã cho có \(6+5+5=16\) nghiệm trên đoạn đã cho
6.
\(\Leftrightarrow1+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}cosx=3\)
\(\Leftrightarrow sinx+\sqrt{3}cosx=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\)
\(0< \frac{\pi}{6}+k2\pi< 100\pi\Rightarrow-\frac{1}{12}< k< \frac{599}{12}\)
\(\Rightarrow0\le k\le49\) (có 50 giá trị k đồng nghĩa có 50 nghiệm)
Tổng giá trị các nghiệm trên khoảng đã cho:
\(\sum x=\frac{\pi}{6}.50+\sum\limits^{49}_02k\pi=\frac{7375\pi}{3}\)
7.
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1\)
Đặt \(x-\frac{\pi}{6}=t\Rightarrow x=t+\frac{\pi}{6}\)
Pt trở thành:
\(sin\left(2t+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+sint=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)+sint=1\)
\(\Leftrightarrow cos2t+sint=1\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^2t+sint=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sint=0\\sint=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x=\frac{\pi}{6}\)
Đáp án B
8.
ĐKXĐ:
\(48-\frac{1}{cos^4x}-\frac{2}{sin^2x}\left(\frac{sin2x.sinx+cos2x.cosx}{sin2x.sinx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow48-\frac{1}{cos^4x}-\frac{2}{sin^2x}\left(\frac{cosx}{2sin^2x.cosx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow48-\frac{1}{cos^4x}-\frac{1}{sin^4x}=0\)
\(\Leftrightarrow48-\frac{sin^4x+cos^4x}{\left(sinx.cosx\right)^4}=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(2sinx.cosx\right)^4=sin^4x+cos^4x\)
\(\Leftrightarrow3sin^42x=1-\frac{1}{2}sin^22x\)
\(\Leftrightarrow6sin^42x+sin^22x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^22x=-\frac{2}{3}\left(l\right)\\sin^22x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^22x=0\)
\(\Leftrightarrow cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}\)
9.
\(\Leftrightarrow3\sqrt{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2}+\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2-3=-m\)
Đặt \(\sqrt{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2}=t\Rightarrow\sqrt{2-\sqrt{2}}\le t\le\sqrt{2+2\sqrt{2}}\)
Pt trở thành:
\(t^2+3t-3=-m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+3t-3\) trên \(\left[\sqrt{2-\sqrt{2}};\sqrt{2+\sqrt{2}}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}< \sqrt{2-\sqrt{2}}\) nên \(f\left(t\right)\) đồng biến trên đoạn đã cho
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\) ; \(f\left(t\right)_{max}=f\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi:
\(-f\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\le m\le-f\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow m=\left\{-5;-4;-3;-2;-1;0\right\}\)
Tập S có 6 phần tử